5 svar
87 visningar
Dualitetsförhållandet 1285
Postad: 5 dec 2020 19:31

Hur kommer det sig att komplexa nollställen alltid kommer konjugerande par?

T.ex. 2+-3i

Dr. G Online 6801
Postad: 5 dec 2020 20:05

Det gäller när du har reella koefficienter.

Om du tittar på pq-formeln så bör du se varför. 

HaCurry 235
Postad: 5 dec 2020 21:25 Redigerad: 5 dec 2020 21:25

Halloj!

Det finns ett bevis till din fråga som jag gillar, tänker att jag snor den och postar här:

(Jag gör det något origoröst, men jag tror du kanske förstår principen, om du känner fortfarande att det gnagar så rekommenderar jag boken Algebra I (10 tryckningen) av Bögvad m.fl, du kanske kan hitta den online om du googlar) där kan du hitta beviser under konjugerade rotsatsen.

Antag att α är ett komplext nollställe till ett tredjegradspolynom (vi gör beviset för tredjegradare, men du kan utvidga det till polynom av godtycklig grad) P(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3. Antag att α är ett komplext nollställe till polynomet dvs. P(α) = 0.   Om du nu tar konjugatet i HL och VL så ser du följande: P(α)=0a0α3+a1α2+a2α+a3=0. Nu kan du använda regler av konjugat samt att konjugatet av ett reellt tal är det reella talet själv:  a0α3+a1α2+a2α+a3=0 a0α3+a1α2+a2α+a3=0a0(α)3+a1(α)2+a2(α)+a3=0, men detta är ju bara P(α), dvs. polynomet P(x) med konjugatet av vår initiala lösning α insatt.

HaCurry 235
Postad: 5 dec 2020 21:26 Redigerad: 5 dec 2020 21:27

Oj vad konstigt, mitt inlägg hade helt fel formatering, det ska inte se ut så där, jag får nog rapportera det

parveln 703
Postad: 5 dec 2020 22:08

Beviset ovan fungerar för alla ring-automorfier, som fixerar mängden dit koefficienterna till polynomet hör. Om t ex 1+sqrt(2) är en rot till ett polynom med rationella koefficienter kommer 1-sqrt(2) också vara det.

Albiki 5096
Postad: 6 dec 2020 01:01

Hej,

Låt P(z)P(z) vara ett polynom med reella koefficienter och komplext argument zz. Om P(z0)=0+i0P(z_0) = 0+i0 så är komplexkonjugatet P(z0)¯=0-i0\bar{P(z_0)} = 0-i0 och eftersom koefficienterna är reella så är

    P(z0)¯=P(z0¯)\bar{P(z_0)}=P(\bar{z_0}).

Därför förekommer komplexa rötter till polynom över de reella talen alltid i komplexkonjugerade par.

Svara Avbryt
Close