Hur löser man den här logaritmekvationen

Dkcre skrev:

Hej!

Ekvationen är: lg0.5a + lg 2a = -4

Tänker spontant att det inte är definerat någon logaritm för negativa värden så ekvationen går inte att lösa.

lg (ab) = lg(a)+lg(b). Detta kan vara bra att ha i denna uppgift.

Ekv. är lösbar

lg(-...) är ej definierat, men det är inte det som står här. Här står lg(...) = - ...

Ja, har kommit så långt.

${10}^{lg2.5a}$= $-4$

Eller jaha jag tolkar det fel.

Svaret är a = -1.6

Tack för det..

Dkcre skrev:

Ja, har kommit så långt.

${10}^{lg2.5a}$= $-4$

Eller jaha jag tolkar det fel.

Svaret är a = -1.6

Tack för det..

a>0, kan ej vara negativt

Suck, ok.

Hm..

Jag kan inte se det på ett annat sätt.

$$\begin{gathered} {10}^{-4} = {10}^{lg0.5a} * {10}^{lg2a} \\ {10}^{-4} = {10}^{2.5a} \\ -4 = 2.5a \\ a = -4/2.5 \\ a = -1.6 \end{gathered}$$

Det blir fel efter första raden.

Du kan ej addera lg på det sättet.

Se istället på

lg0.5a + lg 2a

och jämför med regeln 

lg x + lg y = lg xy.

Hur kan du då skriva om

lg0.5a + lg 2a

?

Jag fattar inte. Boken går igenom reglerna för "logaritmen för en produkt" och beskriver hela vägen att dom ska adderas. Sedan står det under sammanfattningen att lgx+lgy är lgxy i alla fall.

lg 1a = -4

a = -4

Eller det kunde ju inte vara negativt.. jag vet inte

..

Kollade facit, jag kommer aldrig komma fram till det där.

-4 kan skrivas om till lg $a^2$ på något sätt

Ja.

0.5*2 = 1 

1 $\ne 2$

Varför är det logiskt att $lg a = lg a^2$?

Dkcre skrev:

Ja.

0.5*2 = 1 

1 $\ne 2$

Varför är det logiskt att $lg a = lg a^2$?

Du glömmer att det finns två faktorer $a$.

Det gäller att $0,5a\cdot2a=0,5\cdot a\cdot2\cdot a=$

$=0,5\cdot2\cdot a\cdot a=1\cdot a^2=a^2$.

Det ger dig alltså att $\lg(a^2)=-4$.

Logaritmlagen $\lg(x^y)=y\cdot\lg(x)$ ger dig nu $2\lg(a)=-4$.

Kommer du vidare därifrån?

Dkcre skrev:

Boken går igenom reglerna för "logaritmen för en produkt" och beskriver hela vägen att dom ska adderas. Sedan står det under sammanfattningen att lgx+lgy är lgxy i alla fall..

I boken står det nog att logaritmen av en produkt är lika med summan av logaritmerna av faktorerna.

I exemplet:

• xy är produkten av de två faktorerna x och y.
• Logaritmen av denna produkt är lg(xy).
• Logaritmen av den ena faktorn är lg(x).
• Logaritmen av den andra faktorn är lg(y).
• Summan av dessa logaritmer är lg(x)+lg(y).

Enligt boken gäller det alltså att lg(xy) = lg(x)+lg(y)

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

Ja.

0.5*2 = 1 

1 $\ne 2$

Varför är det logiskt att $lg a = lg a^2$?

Du glömmer att det finns två faktorer $a$.

Det gäller att $0,5a\cdot2a=0,5\cdot a\cdot2\cdot a=$

$=0,5\cdot2\cdot a\cdot a=1\cdot a^2=a^2$.

Det ger dig alltså att $\lg(a^2)=-4$.

Logaritmlagen $\lg(x^y)=y\cdot\lg(x)$ ger dig nu $2\lg(a)=-4$.

Kommer du vidare därifrån?

Jag vet inte, jag skulle säga 2lga = -4

-4/2 = -2. 

a = -2.

Fast a fick aldrig vara negativt då.

Eller ska man skriva ut talet först kanske. Så 2lga = 0.0001 

a = 0.0001/2 

a = 0.00005

Dkcre skrev:

Jag vet inte, jag skulle säga 2lga = -4

-4/2 = -2. 

a = -2.

Fast a fick aldrig vara negativt då.

Eller ska man skriva ut talet först kanske. Så 2lga = 0.0001 

a = 0.0001/2 

a = 0.00005

Du hoppar över ett viktigt steg.

Vi har $2\lg(a)=-4$

Dividera båda sidor med 2:

$\lg(a)=-2$

Härifrån drar du slutsatsen att $a=-2$. Men så står det inte. Det står att $\lg(a)=-2$.

För att "bli av" med $\lg$ så kan du nu ta 10 upphöjt till på båda sidor.

Vi får då $10^{\lg(a)}=10^{-2}$

Eftersom $10^{\lg(x)}=x$ så får vi

$a=10^{-2}$, dvs $a=0,01$

Kontrollera nu detta resultat i ursprungsekvationen.

Tack för hjälpen yngve