Hur löser man uppgiften med linjärt samband mellan två företags omsättning?

Jag skulle börja med att försöka förstå vad det är som ska maximeras, går det att uttrycka matematiskt på något sätt? Är det en funktion?

D4NIEL skrev:

Jag skulle börja med att försöka förstå vad det är som ska maximeras, går det att uttrycka matematiskt på något sätt? Är det en funktion?

Jag tolkar det som att vi vill hitta det förhållande i omsättning mellan de två företagen som ger maximal tillväxt enligt sambandet $x_{k+1} = A x_k$, där $x_k$ är omsättningen för de två företagen i år $k$ och $A$ är matrisen som beskriver tillväxten för varje företag. Vi kan tolka tillväxten som en funktion av omsättningen för varje företag, och då får vi två separata funktioner:

Alternativ 1: 

$F_{11}(x+1) = 1.1 \cdot F_{11}(x) \quad \text{och} \quad F_{21}(x+1) = 0.15 \cdot F_{21}(x)$där $F_{11}(x)$ är tillväxten för företag 1 och $F_{21}(x)$ är tillväxten för företag 2. Alternativ 2:

$F_{12}(x+1) = 0.2 \cdot F_{12}(x) \quad \text{och} \quad F_{22}(x+1) = 0.9 \cdot F_{22}(x)$där $F_{12}(x)$ är tillväxten för företag 1 och $F_{22}(x)$ är tillväxten för företag 2.

För att hitta det förhållande i omsättning mellan de två företagen som ger maximal tillväxt behöver vi maximera summan av tillväxtfunktionerna $F_{11}(x)$ och $F_{21}(x)$, eller summan av tillväxtfunktionerna $F_{12}(x)$ och $F_{22}(x)$ beroende på vilket alternativ som är korrekt. En grafisk analys av funktionerna kan ge intuition om var maximal tillväxt uppstår, och sedan kan man hitta en analytisk lösning genom att ta derivatan av summan av funktionerna och sätta den lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Jag förstår inte din notation, men tillväxten mellan år k och k+1 borde rimligtvis vara $x_{k+1}-x_{k}$.

Sen gäller det alltså att fantisera om vad uppgiftsskaparen avser med "maximal tillväxt". Är det något sorts mått på båda företagens sammanlagda tillväxt i L2-normens mening eller ska man välja $max(max(\Delta x_i))$ eller något annat? Kanske kan man få en ledtråd i kursens eller avsnittets övriga kontext.

Det kan också vara värt att känna till att följden $x_{k+1}=Ax_k$ konvergerar till en (multipel av) egenvektorn till det dominerande egenvärdet (jmfr Power Method). Det finns också fler kopplingar till hur egenvärdena erbjuder maximal stretch, om nu avsnittet handlar om egenvärden.