Hur löser man y'y^2=x^2?

Kolla jag har prövat två metoder.

I den ena listade jag först ut att ekvationen är separabel så den gick att skriva på formen g(y)y'=h(x) där g(y) = y² och h(x) = x². Startvillkoret är y(1)=-1, y är definierad i [1, inf) med värden i Reella talmängden, $\forall$x>1.  

Men jag tycker detta är lite jobbigt så jag skrev y²=z, då är g(y) = z. 

Då får vi: y'z=x^2.

Målet är att få ut G(y)= $\int$h(x) = H(x) + C. 

jag fick: $\frac{z^2}{2}=\frac{x^3}{3}+C \iff z=\pm \sqrt{2\frac{x^3}{3}+C}\iff y=\sqrt[4]{2\frac{x^3}{3}+C}$

Sen satte in start villkoret y(1)=-1 och fick

y=$\sqrt[4]{2(\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3})}$

aha vänta jag känner redan nu att något är fel. Om y²=z så är y'=sqrt(z)... detta funkar inte... Aja, första metoden var i alla fall variabelbyte. Det blev något fel vid utbytet och deriveringen tror jag.

Nästa metod var i alla fall att skriva om ekvationen som

$\frac{dy}{dx}{y}^2=x^2\iff y^{2}dy=x^{2}dx$

Sen integrerade jag båda leden och fick till slut att

y=$\sqrt[3]{x^3+3C}$

Satte in startvärdet och fick:

y=$\sqrt[3]{x^3-2}$

Min fråga: Har jag tänkt rätt? Vilken är rätt och hur gör jag om den första så det funkar? Även om det är liksom olika y så var det väl lugnt att få olika lösningskurvor för att representera differential ekvationer? Jag vet inte vad jag snackar om men det var något om lösningskurvor och hur de representerades.