hur många asymtoter har funktionen

Vertikala: Det spelar ingen roll om funktionen går mot plus oändligheten eller minus oändligheten. Så länge något ändligt x-värde går mot plus eller minus oändligheten (ofta är det till och med båda, beroende på vilket håll man ser ifrån) är det en vertikal asymptot.

Horisontella: Om $x$ går mot oändligheten, vad kommer då nämnaren gå mot? Vad gör en sådan nämnare med hela bråket?

Sneda: Om det ska finnas sneda asymptoter måste uttrycket gå mot $kx+m$ när $x$ går mot oändligheten. Det krävs att täljaren är av högre grad än nämnaren för att detta ska kunna stämma, alltså har denna funktion ingen sned asymptot.

Sneda asymptoter kan vara ganska svåra att förstå, så låt oss ta ett exempel:

$\displaystyle \frac{x^{2}}{x-1}$

Vi vill undersöka om detta går mot en rät linje när $x$ närmar sig oändligheten, men detta är ganska svårt med funktionen i denna form. Om vi försöker bryta ut bråket så mycket som möjligt får vi:

$\displaystyle \frac{x(x-1)+x-1+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$ (detta kan även göras med polynomdivision)

Nu ser vi att när $x \rightarrow \infty$ kommer den sista termen att gå mot noll, och då blir resterande uttryck $x+1$, alltså kommer funktionen att ha sned asymptot $y=x+1$. Notera att för att vi ska få någon meningsfull rest (och därmed någon sned asymptot) krävs att täljaren är av högre grad än nämnaren.

AlvinB skrev:

Vertikala: Det spelar ingen roll om funktionen går mot plus oändligheten eller minus oändligheten. Så länge något ändligt x-värde går mot plus eller minus oändligheten (ofta är det till och med båda, beroende på vilket håll man ser ifrån) är det en vertikal asymptot.

Horisontella: Om $x$ går mot oändligheten, vad kommer då nämnaren gå mot? Vad gör en sådan nämnare med hela bråket?

Sneda: Om det ska finnas sneda asymptoter måste uttrycket gå mot $kx+m$ när $x$ går mot oändligheten. Det krävs att täljaren är av högre grad än nämnaren för att detta ska kunna stämma, alltså har denna funktion ingen sned asymptot.

Sneda asymptoter kan vara ganska svåra att förstå, så låt oss ta ett exempel:

$\displaystyle \frac{x^{2}}{x-1}$

Vi vill undersöka om detta går mot en rät linje när $x$ närmar sig oändligheten, men detta är ganska svårt med funktionen i denna form. Om vi försöker bryta ut bråket så mycket som möjligt får vi:

$\displaystyle \frac{x(x-1)+x-1+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$ (detta kan även göras med polynomdivision)

Nu ser vi att när $x \rightarrow \infty$ kommer den sista termen att gå mot noll, och då blir resterande uttryck $x+1$, alltså kommer funktionen att ha sned asymptot $y=x+1$. Notera att för att vi ska få någon meningsfull rest (och därmed någon sned asymptot) krävs att täljaren är av högre grad än nämnaren.

 okej nu förstår jag sneda asymptoter mycket bättre!

Ser ut att vertikal och +$\infty$ och $-\infty$. 

Ser ut att ha horisontella asymptoter vid 63 och 1? 4isf.

vet inte om det stämmer?

De vertikala asymptoterna är där nämnaren är lika med noll. Vilka är dessa värden?

Hur fick du $63$ och $1$?

Om $x \rightarrow \infty$ kommer ju hela nämnaren att gå mot oändligheten, och om man delar ett ändligt tal på oändligheten får man ju noll, eller hur? Samma beräkning gäller när man går mot minus oändligheten, alltså blir:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{100}{(x^{2}-7)(x^{2}-9)}=0$

Vad är då den horisontella asymptoten?

AlvinB skrev:

De vertikala asymptoterna är där nämnaren är lika med noll. Vilka är dessa värden?

Hur fick du $63$ och $1$?

Om $x \rightarrow \infty$ kommer ju hela nämnaren att gå mot oändligheten, och om man delar ett ändligt tal på oändligheten får man ju noll, eller hur? Samma beräkning gäller när man går mot minus oändligheten, alltså blir:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{100}{(x^{2}-7)(x^{2}-9)}=0$

Vad är då den horisontella asymptoten?

 förstår fortfarande inte hur det blir 0? (0^2-7)(0^2-9)=63. Antar det är här jag tänker fel?

Horisontella asymptoter är när x går mot plus eller minus oändligheten. $(9999999999999999^2-7)(9999999999999999^2-9)$ i nämnaren ger ett tal som är väldigt nära 0, eller hur? Man brukar säga att man kan försumma 7 respektive 9 jämfört med x när x går mot oändligheten.

Smaragdalena skrev:

Horisontella asymptoter är när x går mot plus eller minus oändligheten. $(9999999999999999^2-7)(9999999999999999$ i nämnaren ger ett tal som är väldigt nära 0, eller hur? Man brukar säga att man kan försumma 7 respektive 9 jämfört med x när x går mot oändligheten.

 Talet är väll inte så när 0? eller? får det till ca 1. 

Trodde jag kunde hitta de på följande sätt: vertikal: limx->k f(x)=+-$\infty$ horisontell=$\underset{x->\pm \infty }{lim}$f(x)=a och sned= $\underset{x->\pm \infty }{lim}$kx+m

Det kan du, men förstår du vilka av värdena som är asymptoter?

• $\lim_{x \rightarrow k}$$f(x)=\pm \infty \Rightarrow x=k$ är en vertikal asymptot
• $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}$$f(x)=a \Rightarrow y=a$ är en horisontell asymptot
• $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}$$f(x)$$=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} kx+m \Rightarrow y=kx+m$ är en sned asymptot.

Visa nu hur du beräknar värdena på vertikala och horisontella asymptoter (vi kom ju fram till att det inte fanns några sneda).

$\underset{x->3}{lim}$f(x) är 3 asymptoten där eller ska jag sätta in det i funktionen 100/((3^2-7)(3^2-9))?

$\underset{x->\pm \infty }{lim}$f(x)=$\frac{100}{(\pm \infty -7)(\pm \infty -9)}$?  får att det är 1 när jag sätter in stora och väldigt små 

x=3 är en lodrät asymptot. Det finns flera.

När x går mot (plus eller minus) oändligheten går g(x) mot 0, eftersom du (nästan) delar det ändlig atalet 100 med oändligheten upphöjt till 4.

Jag förstår inte vad du gör för att få någonting till 1 när du "sätter in stora och väldigt små " - kan du visa vad det är du gör?

Smaragdalena skrev:

x=3 är en lodrät asymptot. Det finns flera.

När x går mot (plus eller minus) oändligheten går g(x) mot 0, eftersom du (nästan) delar det ändlig atalet 100 med oändligheten upphöjt till 4.

Jag förstår inte vad du gör för att få någonting till 1 när du "sätter in stora och väldigt små " - kan du visa vad det är du gör?

 (-3)?

Hur delar jag nästan det ändlig talet 100 med oändligheten upphöjt till 4? Förstår det inte riktigt?

Jag satte in väldigt stora värden och väldigt små värden på x. Tex 100/((100000^2-7)(100000^2-9)) 0ch ändå större får ca 1 och med små värden: tex 100/((0,00001^2-7)(0,00001^2-9))=ca 1,58

Ja, x=-3 är också en lodrät asymptot - det finns två till.

Ditt felaktiga svar på att du inte har satt hela nämnaren inom parentes. Om du slår in det som du har gjort, tror räknaren att du vill multiplicera med den sista parentesen.

EDIT:Jo, du har ju parenteser - då måste du ha slagit fel på något sätt.

Ta fram alla $x$-värden som gör att nämnaren blir noll. Dessa är vertikala asymptoter (då funktionen går mot oändligheten när man delar med noll).

Varför du testar små värden begriper jag ju inte, det är ju gränsvärdet när $x$ blir oändligt stort vi är ute efter.

Du måste ha gjort något fel när du satte in $x=100000$, jag får det till cirka $0,000000000000001$. Poängen är att ju större nämnaren blir, desto mer närmar sig funktionens värde noll. Gränsvärdet vid oändligheten kommer alltså att vara noll:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{100}{(x^{2}-7)(x^{2}-9)}=0$

Kolla nu i mitt ovanstående inlägg. Vad är den horisontella asymptoten $y=a$?

AlvinB skrev:

Ta fram alla $x$-värden som gör att nämnaren blir noll. Dessa är vertikala asymptoter (då funktionen går mot oändligheten när man delar med noll).

Varför du testar små värden begriper jag ju inte, det är ju gränsvärdet när $x$ blir oändligt stort vi är ute efter.

Du måste ha gjort något fel när du satte in $x=100000$, jag får det till cirka $0,000000000000001$. Poängen är att ju större nämnaren blir, desto mer närmar sig funktionens värde noll. Gränsvärdet vid oändligheten kommer alltså att vara noll:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{100}{(x^{2}-7)(x^{2}-9)}=0$

Kolla nu i mitt ovanstående inlägg. Vad är den horisontella asymptoten $y=a$?

 jaha okej, nu fick jag samma. Får att x med kan vara 2,46 men inte exakt? Varför är vi ute efter när det blir oändligt stort och inte oändligt litet? Det a blir är alltså asymtoten?

Du hittar de båda andra asymptoterna genom att lösa ekvationen $x^2-7=0$.

Du vill veta vad som händer när x blir oändligt stort och positivt och när x blir oändligt stort och negativt. Vad som händer när x närmar sig 0 är inte särskilt spännnande.

Smaragdalena skrev:

Du hittar de båda andra asymptoterna genom att lösa ekvationen $x^2-7=0$.

Du vill veta vad som händer när x blir oändligt stort och positivt och när x blir oändligt stort och negativt. Vad som händer när x närmar sig 0 är inte särskilt spännnande.

 $\sqrt{\pm 7}$

Det andra med horisontell asymptoter är jag inte helt med på ännu.. Får att det blir 100 när jag skriver in stora värden och små värden

Nästan. $\pm \sqrt{7}$.

Strunt i räknaren och tänk själv istället. 9999999999999999 är nästan lika mycket som 9999999999999992 eller 9999999999999990, och väljer man ännu större förx så blir skillnaden ännu mindre, så man kan få fram att  när x går mot oändligheten blir funktionen mer och mer lik $\frac{100}{x^4}$, och att det gränsvärdet blir 0 hoppas jag att du är med på.

Smaragdalena skrev:

Nästan. $\pm \sqrt{7}$.

Strunt i räknaren och tänk själv istället. 9999999999999999 är nästan lika mycket som 9999999999999992 eller 9999999999999990, och väljer man ännu större förx så blir skillnaden ännu mindre, så man kan få fram att  när x går mot oändligheten blir funktionen mer och mer lik $\frac{100}{x^4}$, och att det gränsvärdet blir 0 hoppas jag att du är med på.

 Aha  Är med på det nu. Så när x går mot +-oändligheten blir gränsvärdet 0. Betyder det att funktionen har två horisontella asymtoter? 

Det beror ju på hur man ser det. Den har ju två horisontella asymptoter vid $\infty$ och $-\infty$, men eftersom båda går mot samma värde ($y=0$) blir ju slutresultatet att man egentligen bara har en horisontell asymptot, $y=0$.

AlvinB skrev:

Det beror ju på hur man ser det. Den har ju två horisontella asymptoter vid $\infty$ och $-\infty$, men eftersom båda går mot samma värde ($y=0$) blir ju slutresultatet att man egentligen bara har en horisontell asymptot, $y=0$.

 då förstå jag tack för all hjälp!