Hur många lösningar har denna ekvation?

eftersom 5 är ett udda tal >1 och 29 är ett udda tal borde det bli

(29+1)/2=15

(jag bara skojar ... det stämmer, alltid, men jag har ju inte bevisat något...)

Faktoriserar man VL inser man att faktorerna måste vara potenser av fem, vilket följer av aritmetikens fundamentalsats.

     $x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)=5^{29}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y=5^m\\ x-y=5^n\end{array}\right.$

där $m+n=29.$ Eftersom $x+y>x-y$ så måste $m>n.$ Detta måste betyda att $15\le m\le 29$, som är till ursprungsekvationen är ekvivalent med olikheten $0\le n\le 14$. Det generella ekvationssystemet som alstrar alla positiva heltalsrötter blir

     $\left\{\begin{array}{ll}x& =\frac{5^m+5^n}{2}\\ y& =\frac{5^m-5^n}{2}\end{array}\right.$

där $(m,n)=(15,14),(16,13),...,(29,0).$ Totalt 15 lösningspar.

Bra Lirim.K och joculator.

Svårare utvidgning: 

Hur många lösningar har ekvationen

$x^2 - y^2 = 3^8 5^6 13^4$

där$x,y$ är positiva heltal?

Svar: Antalet lösningar till den diofantiska ekvationen är

     $\eta =\frac{315-1}{2}=157.$

Fullständig lösning postas på begäran.

Anser att formeln innehåller tillfredställande mycket information om lösningen.

Jag landade dock i $\lceil 135/2 \rceil$ och alltså 158 när jag löste problemet. Ska dubbelkolla min lösning men utifall det är åt andra hållet så hojta gärna. 

135/2 blir inte i närheten av 158. Hur menar du?

135-är 315 men med de första två siffrorna i oordning.