Hur många lösningar till ekvationen 9^x - 6^x - 2^(2x-1) = 0?

Jag skulle nog säga att det inte finns någon generell metod för att göra sådant. Hur kunde du utesluta negativa värden så fort? Du har rätt, men jag tycker att det långt ifrånt uppenbart. Efter en viss punkt kommer den snabbast växande termen att dominera (2^(2x-1)), men vad som händer innan detta är inte helt lätt att se.

Ja, det finns det. Ska det här ligga under Matte 2 eller inte till att börja med? Om den ska göra det, så lämnar jag det till någon annan som kan förklara bättre.

Annars kan du helt enkelt använda  "satsen om mellanliggande värden". 

Bevis:

Låt $f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$, $f\left(x\right)=9^x-6^x-2^{2x+1}$, då gäller exempelvis att $f\left(0\right)=-2$ och $f\left(2\right)=13$. Funktionen är kontinuerlig (bevisa detta) och därmed gäller satsen om mellanliggande värden. Alltså finns det ett $\xi \in \mathrm{ℝ}$ sådant att $f\left(\xi \right)=0$. Ekvationen $f\left(x\right)=0$ har därför minst en lösning.

Har du någon idé om hur du kan visa att det bara finns en lösning? 

Tips: Betrakta 2 intervall, i vilka funktionen $f$ är växande/avtagande. 

1:an tycks ha bytt tecken mellan rubrik och inlägg, ska det vara +1 eller -1?

Om det är $9^x-6^x-2^{2x+1}$ det är fråga om finns en mycket enkel faktorisering:

$9^x-6^x-2^{2x+1}=(3^x-2^{x+1})(3^x+2^x)$

vilken underlättar lösandet av ekvationen avsevärt. Även om det nu skulle vara ett minustecken går det att faktorisera, men det blir betydligt fulare. Jag kan så klart berätta hur man kommer fram till en sådan här faktorisering, men jag tänkte att vi kanske skall klargöra hur uppgiften egentligen ser ut till att börja med.

Det verkar inte bli någon mer aktivitet i den här tråden, men jag tänkte att jag kanske ska skriva ned hur man kan tänka vid sådana här uppgifter ifall någon annan hittar tråden i framtiden.

Om man fnular litegrann inser man att $2^x$ och $3^x$ utgör alla termer, eftersom $9^x=(3^x)^2$ och $6^x=3^x\cdot2^x$ och $2^{2x+1}=2\cdot(2^x)^2$. För att underlätta faktoriseringen kan vi då låta $a=3^x$ och $b=2^x$. Då blir

$9^x-6^x-2^{2x+1}=a^2-ab-2b^2$

För att faktorisera detta kan vi utnyttja kvadratkomplettering:

$a^2-ab-2b^2=(a-\dfrac{b}{2})^2-\dfrac{9b^2}{4}$

och därefter konjugatregeln

$=(a-\dfrac{b}{2}+\dfrac{3b}{2})(a-\dfrac{b}{2}-\dfrac{3b}{2})$

$=(a+b)(a-2b)=(3^x+2^x)(3^x-2\cdot2^x)=(3^x+2^x)(3^x-2^{x+1})$

Ekvationen är alltså ekvivalent med

$(3^x-2^{x+1})(3^x+2^x)=0$

Vi kan nu lösa det hela ganska enkelt med hjälp av nollproduktmetoden. Den högra faktorn har inga reella lösningar (eftersom $3^x$ och $2^x$ alltid är större en noll). Den vänstra faktorn ger däremot lösningen

$3^x-2^{x+1}=0$

$3^x=2^{x+1}$

$3^x=2\cdot 2^x$

$\dfrac{3^x}{2^x}=2$

$(\dfrac{3}{2})^x=2$

$\lg((\dfrac{3}{2})^x)=\lg\left(2\right)$

$x\cdot \text{lg}(\dfrac{3}{2})=\text{lg}\left(2\right)$

$x=\dfrac{\text{lg}(2)}{\text{lg}(3/2)}$

vilket är ekvationens enda lösning.

Ett annat förslag (som jag kom på nu i en annan tråd) är att dividera båda led med en av exponenterna för att få en andragradsekvation. På den här uppgiften innebär det först att vi skriver om enligt

$9^x-6^x-2^{2x+1}=0$

$9^x-6^x-2\cdot2^{2x}=0$

Om vi nu dividerar med $2^{2x}$ får vi:

$\dfrac{9^x}{2^{2x}}-\dfrac{6^x}{2^{2x}}-2=0$

$(\dfrac{9}{2^2})^x-\dfrac{3^x}{2^x}-2=0$

$((\dfrac{3}{2})^x)^2-(\dfrac{3}{2})^x-2=0$

Låter man nu $t=(\dfrac{3}{2})^x$ omvandlas det hela till en andragradsekvation:

$t^2-t-2=0$.

afulm skrev:

Jag skulle nog säga att det inte finns någon generell metod för att göra sådant. Hur kunde du utesluta negativa värden så fort? Du har rätt, men jag tycker att det långt ifrånt uppenbart. Efter en viss punkt kommer den snabbast växande termen att dominera (2^(2x-1)), men vad som händer innan detta är inte helt lätt att se.

9^x=6^x+2^2x+1 för x<0 kommer 6^x alltid vara större än 9^x och bli ännustörre när man adderar 2^2x+1. Följaktigen:  9^x<6^x+2^2x+1 för alla x<0

Moffen skrev:

Ja, det finns det. Ska det här ligga under Matte 2 eller inte till att börja med? Om den ska göra det, så lämnar jag det till någon annan som kan förklara bättre.

Annars kan du helt enkelt använda  "satsen om mellanliggande värden". 

Bevis:

Låt $f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$, $f\left(x\right)=9^x-6^x-2^{2x+1}$, då gäller exempelvis att $f\left(0\right)=-2$ och $f\left(2\right)=13$. Funktionen är kontinuerlig (bevisa detta) och därmed gäller satsen om mellanliggande värden. Alltså finns det ett $\xi \in \mathrm{ℝ}$ sådant att $f\left(\xi \right)=0$. Ekvationen $f\left(x\right)=0$ har därför minst en lösning.

Har du någon idé om hur du kan visa att det bara finns en lösning? 

Tips: Betrakta 2 intervall, i vilka funktionen $f$ är växande/avtagande. 

Bra tillvägagångsätt. Man kan alltså dra slutsatsen eftersom att det finns ett intervall y=-2 till y=13 och eftersom det är en kontinuerlig ekvation måste den gå igenom 0. Tack så mycket för bra svar, det här kommer jag lägga i verktygslådan.

AlvinB skrev:

Ett annat förslag (som jag kom på nu i en annan tråd) är att dividera båda led med en av exponenterna för att få en andragradsekvation. På den här uppgiften innebär det först att vi skriver om enligt

$9^x-6^x-2^{2x+1}=0$

$9^x-6^x-2\cdot2^{2x}=0$

Om vi nu dividerar med $2^{2x}$ får vi:

$\dfrac{9^x}{2^{2x}}-\dfrac{6^x}{2^{2x}}-2=0$

$(\dfrac{9}{2^2})^x-\dfrac{3^x}{2^x}-2=0$

$((\dfrac{3}{2})^x)^2-(\dfrac{3}{2})^x-2=0$

Låter man nu $t=(\dfrac{3}{2})^x$ omvandlas det hela till en andragradsekvation:

$t^2-t-2=0$.

Tack Alvin för otroligt utförligt svar. Verkligen bra tillvägagångsätt som jag kommer tillämpa i framtiden!

Edit: det ska vara 9^x-6^x-2^2x+1=0