Hur många punkter med heltalskoordinater passerar genom en linje från origo till en punkt

Om du skulle rita upp linjen på ett rutat papper är frågan liktydig med att fråga när som grafen skär igenom hörnor på rutmönstret.

Den skär igenom hörnor då en förflyttning i ett helt antal steg i x-led motsvaras av ett helt antal steg i y-led.

Om punkten i fråga hade varit (2,10) hade vi passerat (0,0); (1,5); (2,10). Här är både x- och y-koordinaten jämnt delbara på 2.

Du får jämföra vilka delare som är gemensamma för 374897 och 459709.

En linje kan generellt skrivas 

$y=kx+m$

När linjen går genom origo så har vi m=0. Sedan vet vi att den går genom (374897,459709).

Så vi har 

$459709=k*374897$

vilket ger $k=459709/374897$

Så linjens ekvation kan skrivas:

374897y=459709x.

Observera då att HL och VL då är en gemensam multipel till 374897 och 459709.

Så hitta minsta gemensamma multipel m=MGM(374897,459709). Då löser x=m/459709 och y=m/374897 ekvationen. Om du då hittat lösningar a och b så är naturligtvis ka och kb också lösningar. Räkna sedan hur många k som ger lösningar mindre än 374897 samt 459709.

Hej, igen 

gemensam delare har jag beräknat till 233

Minsta gemensam multipel är 

233*1609*1973

vilket är : 739671781

Då är x= 1609

y= 1973

Amen precis, bra jobbat!

Då är ju även (1609*k,1973*k) en lösning för varje heltal k. Hur många ickenegativa k finns det sådana att:

1609*k <374897 och

1973*k <459709?

hej, igen 

antalet k som gör att

1609*k <374897 och

1973*k <459709?

ska vara mindre än 233 dvs 232 så k är 232 

är detta rätt eller gör jag fel här 

Jag skulle säga att det är rätt men uppgiften är kanske inte helt entydig,

Det är möjligt att svaret ska vara 233 eller 234 enligt facit beroende på om man räknar startpunkten eller till och med ändpunkten men jag skulle säga att 232 är ett korrekt svar.

tack så mycket, men om vi tänker oss att vi ska ta alla punkter man passerar på vägen, så tänker jag mig att vi inte ska ta med punkten (374897, 459709), så vad blir antalet då, är det 232 eller 233, eller 234

Om vi inte tar med ändpunkter får du 232.

Men det är oklart med punkterna (0,0) och (374897,459709), beroende på om vi räknar med dem eller inte får 232, 233 eller 234.

tack så jättemycket nu förstår jag bättre 

men med ändpunkter menar du självklart (0,0) och (374897,459709)

suad skrev:

tack så jättemycket nu förstår jag bättre 

men med ändpunkter menar du självklart (0,0) och (374897,459709)

Ja

tack så jättemycket