hur många skärningspunkter har x antal räta linjer?

I facit står det (( 1+n)/2)n

Hur är frågan formulerad? Skriv av den ord för ord eller lägg in en bild!

Om frågan är som jag gissar: Rita! Hur många skärningspunkter kan du som mest få med 4 räta linjer? Med 5? 6? Hittar du något mönster?

det är " skriv uttrycket för antal skärningar med n linjer"

Lägg in en bild, är du snäll.

har tyvärr ingen bild men tog denna från internet. frågan är då hur många skärningar n linjer har

Har du ritat? Går det att fortsätta mönstret att den nya linjen skär alla de andra så länge man vill? Antar det, med tanke på svaret i facit.

Gör en tabell med åtminstone 5 rader i där du antecknar antalet streck i första kolumnen och antalet skärningspunkter i den andra. Hur blir den tabellen? Kolla differensen mellan antalet skärningspunkter för n respektive n-1 och anteckna det. Om det inte är konstant, gör likadant med differensen mellan differenserna. Alternativt rita upp ett diagram med antalet streck på x-axeln och antalet skärningspunkter på y-axeln.

Den här delen:

linjer, skärningar

1, 0

2, 1

3, 3 osv

den ökar med 1, sen 2, 3, 4 ,5 ,6 osv

tror jag att jag kan tolka, men det här

0 1 2 3 5 6 ... n

n, (n-1), (n-2), (n-3), (n-4), (n-5), (n-6) ... 0

då blir medelvärdet: n/2

och n= n(n/2)

men det stämmer inte...

får jag ingen rätsida på. Vad är det du försöker göra?

Att para ihop ena sidan av "talföljden" med den andra sidan. Då kan jag dela med två för att få medelvärdet. 

wangster skrev:

Att para ihop ena sidan av "talföljden" med den andra sidan. Då kan jag dela med två för att få medelvärdet. 

Varför vill du beräkna medelvärdet? Medelvärdet av vad? Antalet linjer plus antalet skärningspunkter, eller?

Bara antalet skärningspunkter.

t.ex 5 linjer. då är det 5+4+3+2+1 skärningspunkter. Då kan jag bara ta (5+1)/2=3 

3n eller 3x5= 15

Tänkte göra samma sak men med n.

wangster skrev:

Bara antalet skärningspunkter.

t.ex 5 linjer. då är det 5+4+3+2+1 skärningspunkter. Då kan jag bara ta (5+1)/2=3 

3n eller 3x5= 15

Tänkte göra samma sak men med n.

Varför vill du beräkna detta? Vad har du för plan?

Tack för bilden, men jag ville se en bild av frågan också. Eller har du fått den muntligt av någon?

Om frågan är denna: 

Hur många skärningspunkter kan n stycken distinkta räta linjer maximalt ha?

så tycker jag du är helt rätt på det!

Som du observerar med hjälp av din figur så gäller följande:

• 1 linje ger ingen skärningspunkt
• 2 olika linjer ger max 1 skärningspunkt
• 3 olika linjer ger max 1+2 skärningspunkter
• 4 olika linjer ger max 1+2+3 skärningspunkter
• 5 olika linjer ger max 1+2+3+4 skärningspunkter,

och det är helt korrekt att det här mönstret fortsätter, så att $n$ stycken distinkta linjer ger maximalt $1+2+\cdots+(n-1)$ skärningspunkter.

Det som saknas nu är två saker:

(1) Att du tar idén från din figur och omvandlar den till ett 100 % övertygande argument som visar att sambandet verkligen gäller för för stora $n$ som helst. Går det verkligen att rita exempelvis 100 stycken räta linjer så att de skär varandra $1+2+3+\cdots+98+99$ gånger? Funkar det för 1000 linjer? 100000 linjer? 

(2) Om du vill (men jag tycker inte det är obligatoriskt för att besvara ursprungsfrågan) så kan du försöka hitta en mer kompakt formel för vad $1+2+\cdots+(n-1)$ blir. Du är på god väg att göra det i ditt ursprungliga inlägg (det du kallar att räkna ut "medelvärdet"), men du rör ihop det lite grann och kommer fram till fel svar. Prova igen, fast noggrannare den här gången! Försök även förklara lite mer precist varför din metod fungerar.

Viktigt påpekande: Om frågan verkligen är så som jag har skrivit den så har facit fel. Det är bara att sätta in $n=2$ för att se att $(1+n)n/2$ omöjligen kan stämma. Men det är nästan rätt svar, eller hur?

Ett annat viktigt påpekande: Notera betoningen på ordet maximalt i det här inlägget. Det går ju nämligen att rita $n$ stycken räta linjer i ett plan på ett sådant sätt att de skär varandra betydligt färre gånger än det maximala antalet. Till exempel kan man rita 100 linjer så att de inte skär varandra alls, eller så att de skär varandra i exakt en enda punkt. (Hurdå?)

Jag tycker det är enklare att tänka så här:
Så länge vi inte har några parallella linjer så skär varje par av linjer varandra i en (1) punkt. Nu har vi n linjer. Tänk på en av dessa. Hur många andra linjer har den skärningspunkt med? Detta gäller sedan för alla linjer, n st. Men, nu har vi räknat varje skärningspunkt två gånger så det måste vi också kompensera för. Blev det lättare nu att få fram ett uttryck?

bengali skrev:

Jag tycker det är enklare att tänka så här:
Så länge vi inte har några parallella linjer så skär varje par av linjer varandra i en (1) punkt. Nu har vi n linjer. Tänk på en av dessa. Hur många andra linjer har den skärningspunkt med? Detta gäller sedan för alla linjer, n st. Men, nu har vi räknat varje skärningspunkt två gånger så det måste vi också kompensera för. Blev det lättare nu att få fram ett uttryck?

Det här är ett mycket bra angreppssätt.

Tillåt mig variera det en smula för att kanske göra det ännu mer lättbegripligt.

• Vi börjar med n st icke-parallella linjer och väljer ut en av dessa. När vi har räknat hur många skärningspunkter vår utvalda linje har med andra linjer (dvs n - 1 st) så plockar vi bort den linjen.
• Då har vi n - 1 st linjer kvar och vi väljer ut en av dessa. När vi har räknat hur många skärningspunkter vår utvalda linje har med andra linjer (dvs n - 2 st) så plockar vi bort den linjen.
• Då har vi n - 3 st linjer kvar och vi väljer ut en av dessa ...

...

Och så vidare.

...

• Till slut har vi bara två linjer kvar, vi väljer ut en av dessa. När vi har räknat hur många skärningspunkter vår utvalda linje har med andra linjer (dvs 1 st) så plockar vi bort den linjen.
• Nu har vi bara en linje kvar, den skär inga andra linjer.

Vi har nu räknat alla skärningspunkter. Summan är 1+2+3+...+(n-1).

För att inte röra till det med mitt helt annorlunda tankesätt lägger jag mina tankar i en spoiler: