Hur ska jag fortsätta med mitt induktionsbevis? (olikheter)

Jag skulle föredra att utgå från induktionsantagandet:

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}\leq2-\dfrac{1}{p}$

och addera $\frac{1}{(p+1)^2}$ på båda sidor:

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{(p+1)^2}$

vilket efter lite förenklingar i HL ger:

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}$

Om du nu skulle kunna visa att detta HL är mindre än

$2-\dfrac{1}{(p+1)^2}=2-\dfrac{p}{p(p+1)^2}$

skulle du vara hemma. Har du ett hum om hur man skulle kunna göra det?

Varför adderar du på båda sidorna? 

EDIT: dvs kan man göra så? Och gör man så för att det blir enklare? 

Precis som med ekvationer kan man lägga till samma sak i båda led utan att bryta relationen. Genom att addera $\frac{1}{(p+1)^2}$ får vi ju vänsterledet vi eftersöker.

Vi kommer då fram till

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}$

Eftersom

$2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p}{p(p+1)^2}$ (vi subtraherar en större täljare till vänster vilket ger ett mindre tal)

får vi då:

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p}{p(p+1)^2}$

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p}{p(p+1)^2}$

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{1}{(p+1)^2}$

vilket är vad vi ville visa. Det här med att utgå från antagandet och sedan manipulera ekvationen eller olikheten på något sätt är ett klassiskt sätt att utföra induktionsbevis. I detta fall behöver vi vara lite extra finurliga i och med att det vi eftersöker inte faller ut direkt, utan vi måste konstruera ytterligare en olikhet för att sy ihop det hela.

AlvinB skrev:

Precis som med ekvationer kan man lägga till samma sak i båda led utan att bryta relationen. Genom att addera $\frac{1}{(p+1)^2}$ får vi ju vänsterledet vi eftersöker.

Vi kommer då fram till

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}$

Eftersom

$2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p}{p(p+1)^2}$ (vi subtraherar en större täljare till vänster vilket ger ett mindre tal)

får vi då:

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p}{p(p+1)^2}$

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p}{p(p+1)^2}$

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{1}{(p+1)^2}$

vilket är vad vi ville visa. Det här med att utgå från antagandet och sedan manipulera ekvationen eller olikheten på något sätt är ett klassiskt sätt att utföra induktionsbevis. I detta fall behöver vi vara lite extra finurliga i och med att det vi eftersöker inte faller ut direkt, utan vi måste konstruera ytterligare en olikhet för att sy ihop det hela.

 Det där var snyggt. I steget efter "eftersom" kan vi istället subtrahera $1$ istället för $p + 1$ vilket ger

$2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2 + p}{p(p+1)^2}$ (vi subtraherar en större täljare till vänster vilket ger ett mindre tal)

Då får vi istället

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p(p + 1)}{p(p + 1)^2}$

I sista ekvationen får vi då bort kvadraten över $(p + 1)$

Okej, men vid steget där man förenklar HL får jag att 

HL = $2 - \frac{1}{p } + \frac{1}{(p+1{)}^2} = 2 - \frac{1 · (p +1{)}^2}{p · (p+1{)}^2} + \frac{1 · p}{(p + 1{)}^2 · p } = 2 - \frac{p^2 + 2p + 1 + p}{p·(p+1{)}^2}$

och inte som du får i täljaren. Jag undrar vad är det jag har missat? 

Man borde såklart subtrahera det som Aerius säger. Jag tänkte inte på att vi inte borde ha en kvadrat i nämnaren.

Det du missar är minustecknet framför. Den högra termen har ju inget minustecken, alltså måste du byta tecken på den för att ta in den i nämnaren som har ett minustecken framför sig:

$2-\dfrac{(p+1)^2}{p(p+1)^2}+\dfrac{p}{p(p+1)^2}=2-(\dfrac{(p+1)^2}{p(p+1)^2}-\dfrac{p}{p(p+1)^2})=2-\dfrac{p^2+2p+1-p}{p(p+1)^2}$

Delmomenten är bra, men varför räknar ni inte bara "från vänster till höger" och för in induktionsantaget vid andra olikheten? Tycker det är rakt på sak utan några "trick". Det mesta är ren algebra förutom en reducering av 1 i täljaren emot slutet.

Okej, men i steget eftersom så förstår jag inte vart det röda kommer ifrån. Det blåa ser jag, men inte det röda

Det är slarv av mig. Det skall vara som Aerius skrev:

$2-\dfrac{p^2+p}{p(p+1)^2}$

Vi introducerar denna term eftersom den kan förenklas till högerledet vi eftersöker:

$2-\dfrac{p^2+p}{p(p+1)^2}=2-\dfrac{p(p+1}{p(p+1)^2}=2-\dfrac{1}{p+1}$

Sedan ser vi att denna term är större än högerledet vi hade (eftersom täljaren man subtraherar är mindre) och alltså kan vi byta ut den och ändå behålla 'större än eller lika med'-relationen. När vi väl gjort detta får vi:

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{1}{p+1}$

vilket är vad vi ville bevisa (som sagt, jag slarvade i mitt ursprungliga inlägg). 

Det röda kommer ifrån att

$2 - ett stort tal B \le 2 - ett litet tal A$.

Vi får manipulera det stora talet B så det blir det lilla talet A på ett sådant sätt att olikheten upprätthålls.

Okej, men i steget när man subtraherar 1 gör man det från täljaren i både HL och VL?  

I vilket steg subtraherar man $1$?

Man subtraherar 1 från täljaren i $\pfrac{p^2 + p + 1}{p(p+1)^2}$  för det ger olikheten

$2 - \pfrac{p^2 + p + 1}{p(p + 1)^2} \leq 2 - \pfrac{p^2 + p}{p(p + 1)^2}$ .

Vi kan säga att vi subtraherar 1 från VL i denna ekvation vilket ger olikheten vi vill ha. Jag tror du tänker i termer av likhetstecken. När vi har likhet då gör vi samma sak på båda sidor av likhetstecknet för att behålla likheten. Men om vi har olikhet då kan vi göra vad vi vill på vilken sida vi vill av olikhetstecknet så länge olikhetstecknet inte påverkas. Till exempel om vi har

$2 > 1$ .

Då kan vi addera 3 på VL och få

$5 > 1$,

detta påverkar inte olikhetstecknet. Vi började med VL > HL och slutade med VL > HL.

Hej!

Om $n > 0$ så gäller det att

    $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{(n+1)^2}$,

och då följer det att 

    $1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} \leq 2 - \frac{1}{n+1}$

från induktionsantagandet att

    $1 + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} \leq 2 - \frac{1}{n}.$

Hej, tack för era svar.

Jag fick till det och löste uppgiften imorse. Tack mycket för hjälpen!  :)