detrr är nöjd med hjälpen!
detrr Online 1896
Postad: 6 dec 2018

Hur ska jag fortsätta med mitt induktionsbevis? (olikheter)

Hej, jag håller på att lösa denna uppgift, men fastnat halvvägs. Jag vet att jag nu bör använda mig av antagandet men vet inte riktigt hur. 

AlvinB 1901
Postad: 6 dec 2018

Jag skulle föredra att utgå från induktionsantagandet:

112+122+...+1p22-1p\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}\leq2-\dfrac{1}{p}

och addera 1(p+1)2\frac{1}{(p+1)^2} på båda sidor:

112+122+...+1p2+1(p+1)22-1p+1(p+1)2\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{(p+1)^2}

vilket efter lite förenklingar i HL ger:

112+122+...+1p2+1(p+1)22-p2+p+1p(p+1)2\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}

Om du nu skulle kunna visa att detta HL är mindre än

2-1(p+1)2=2-pp(p+1)22-\dfrac{1}{(p+1)^2}=2-\dfrac{p}{p(p+1)^2}

skulle du vara hemma. Har du ett hum om hur man skulle kunna göra det?

detrr Online 1896
Postad: 6 dec 2018 Redigerad: 6 dec 2018

Varför adderar du på båda sidorna? 

 

EDIT: dvs kan man göra så? Och gör man så för att det blir enklare? 

AlvinB 1901
Postad: 6 dec 2018 Redigerad: 6 dec 2018

Precis som med ekvationer kan man lägga till samma sak i båda led utan att bryta relationen. Genom att addera 1(p+1)2\frac{1}{(p+1)^2} får vi ju vänsterledet vi eftersöker.

Vi kommer då fram till

112+122+...+1p2+1(p+1)22-p2+p+1p(p+1)2\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}

Eftersom

2-p2+p+1p(p+1)22-pp(p+1)22-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p}{p(p+1)^2} (vi subtraherar en större täljare till vänster vilket ger ett mindre tal)

får vi då:

112+122+...+1p2+1(p+1)22-p2+p+1p(p+1)22-pp(p+1)2\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p}{p(p+1)^2}

112+122+...+1p2+1(p+1)22-pp(p+1)2\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p}{p(p+1)^2}

112+122+...+1p2+1(p+1)22-1(p+1)2\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{1}{(p+1)^2}

vilket är vad vi ville visa. Det här med att utgå från antagandet och sedan manipulera ekvationen eller olikheten på något sätt är ett klassiskt sätt att utföra induktionsbevis. I detta fall behöver vi vara lite extra finurliga i och med att det vi eftersöker inte faller ut direkt, utan vi måste konstruera ytterligare en olikhet för att sy ihop det hela.

Aerius 101
Postad: 6 dec 2018 Redigerad: 6 dec 2018
AlvinB skrev:

Precis som med ekvationer kan man lägga till samma sak i båda led utan att bryta relationen. Genom att addera 1(p+1)2\frac{1}{(p+1)^2} får vi ju vänsterledet vi eftersöker.

Vi kommer då fram till

112+122+...+1p2+1(p+1)22-p2+p+1p(p+1)2\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}

Eftersom

2-p2+p+1p(p+1)22-pp(p+1)22-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p}{p(p+1)^2} (vi subtraherar en större täljare till vänster vilket ger ett mindre tal)

får vi då:

112+122+...+1p2+1(p+1)22-p2+p+1p(p+1)22-pp(p+1)2\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p}{p(p+1)^2}

112+122+...+1p2+1(p+1)22-pp(p+1)2\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p}{p(p+1)^2}

112+122+...+1p2+1(p+1)22-1(p+1)2\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{1}{(p+1)^2}

vilket är vad vi ville visa. Det här med att utgå från antagandet och sedan manipulera ekvationen eller olikheten på något sätt är ett klassiskt sätt att utföra induktionsbevis. I detta fall behöver vi vara lite extra finurliga i och med att det vi eftersöker inte faller ut direkt, utan vi måste konstruera ytterligare en olikhet för att sy ihop det hela.

 Det där var snyggt. I steget efter "eftersom" kan vi istället subtrahera 11 istället för p+1p + 1 vilket ger

2-p2+p+1p(p+1)22-p2+pp(p+1)22-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2 + p}{p(p+1)^2} (vi subtraherar en större täljare till vänster vilket ger ett mindre tal)

Då får vi istället

112+122+...+1p2+1(p+1)22-p2+p+1p(p+1)22-p(p+1)p(p+1)2\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p^2+p+1}{p(p+1)^2}\leq2-\dfrac{p(p + 1)}{p(p + 1)^2}

I sista ekvationen får vi då bort kvadraten över (p+1)(p + 1)

detrr Online 1896
Postad: 6 dec 2018

Okej, men vid steget där man förenklar HL får jag att 

 

HL = 2 - 1p  + 1(p+1)2 = 2 - 1 · (p +1)2p · (p+1)2 + 1 · p(p + 1)2 · p  = 2 - p2 + 2p + 1 + pp·(p+1)2

 

och inte som du får i täljaren. Jag undrar vad är det jag har missat? 

AlvinB 1901
Postad: 7 dec 2018

Man borde såklart subtrahera det som Aerius säger. Jag tänkte inte på att vi inte borde ha en kvadrat i nämnaren.

Det du missar är minustecknet framför. Den högra termen har ju inget minustecken, alltså måste du byta tecken på den för att ta in den i nämnaren som har ett minustecken framför sig:

2-(p+1)2p(p+1)2+pp(p+1)2=2-((p+1)2p(p+1)2-pp(p+1)2)=2-p2+2p+1-pp(p+1)22-\dfrac{(p+1)^2}{p(p+1)^2}+\dfrac{p}{p(p+1)^2}=2-(\dfrac{(p+1)^2}{p(p+1)^2}-\dfrac{p}{p(p+1)^2})=2-\dfrac{p^2+2p+1-p}{p(p+1)^2}

Trinity 128
Postad: 7 dec 2018

Delmomenten är bra, men varför räknar ni inte bara "från vänster till höger" och för in induktionsantaget vid andra olikheten? Tycker det är rakt på sak utan några "trick". Det mesta är ren algebra förutom en reducering av 1 i täljaren emot slutet.

detrr Online 1896
Postad: 7 dec 2018

Okej, men i steget eftersom så förstår jag inte vart det röda kommer ifrån. Det blåa ser jag, men inte det röda

AlvinB 1901
Postad: 7 dec 2018 Redigerad: 7 dec 2018

Det är slarv av mig. Det skall vara som Aerius skrev:

2-p2+pp(p+1)22-\dfrac{p^2+p}{p(p+1)^2}

Vi introducerar denna term eftersom den kan förenklas till högerledet vi eftersöker:

2-p2+pp(p+1)2=2-p(p+1p(p+1)2=2-1p+12-\dfrac{p^2+p}{p(p+1)^2}=2-\dfrac{p(p+1}{p(p+1)^2}=2-\dfrac{1}{p+1}

Sedan ser vi att denna term är större än högerledet vi hade (eftersom täljaren man subtraherar är mindre) och alltså kan vi byta ut den och ändå behålla 'större än eller lika med'-relationen. När vi väl gjort detta får vi:

112+122+...+1p2+1(p+1)22-1p+1\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{(p+1)^2}\leq2-\dfrac{1}{p+1}

vilket är vad vi ville bevisa (som sagt, jag slarvade i mitt ursprungliga inlägg). 

Aerius 101
Postad: 7 dec 2018 Redigerad: 7 dec 2018

Det röda kommer ifrån att

2 - ett stort tal B  2 - ett litet tal A.

Vi får manipulera det stora talet B så det blir det lilla talet A på ett sådant sätt att olikheten upprätthålls.

detrr Online 1896
Postad: 7 dec 2018

Okej, men i steget när man subtraherar 1 gör man det från täljaren i både HL och VL?  

AlvinB 1901
Postad: 4 dagar sedan Redigerad: 4 dagar sedan

I vilket steg subtraherar man 11?

Aerius 101
Postad: 4 dagar sedan

Man subtraherar 1 från täljaren i \pfracp2+p+1p(p+1)2\pfrac{p^2 + p + 1}{p(p+1)^2}  för det ger olikheten

2-\pfracp2+p+1p(p+1)22-\pfracp2+pp(p+1)22 - \pfrac{p^2 + p + 1}{p(p + 1)^2} \leq 2 - \pfrac{p^2 + p}{p(p + 1)^2} .

Vi kan säga att vi subtraherar 1 från VL i denna ekvation vilket ger olikheten vi vill ha. Jag tror du tänker i termer av likhetstecken. När vi har likhet då gör vi samma sak på båda sidor av likhetstecknet för att behålla likheten. Men om vi har olikhet då kan vi göra vad vi vill på vilken sida vi vill av olikhetstecknet så länge olikhetstecknet inte påverkas. Till exempel om vi har

2>1 2 > 1 .

Då kan vi addera 3 på VL och få

5>1 5 > 1,

detta påverkar inte olikhetstecknet. Vi började med VL > HL och slutade med VL > HL.

albibla 19
Postad: 4 dagar sedan

Hej!

Om n>0n > 0 så gäller det att

    1n-1n+11(n+1)2\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \geq \frac{1}{(n+1)^2},

och då följer det att 

    1+122+132++1n2+1(n+1)22-1n+11 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} \leq 2 - \frac{1}{n+1}

från induktionsantagandet att

    1+122++1n22-1n.1 + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} \leq 2 - \frac{1}{n}.

detrr Online 1896
Postad: 22 timmar sedan

Hej, tack för era svar.

 

Jag fick till det och löste uppgiften imorse. Tack mycket för hjälpen!  :) 

Svara Avbryt
Close