Hur skulle ni hitta en snabb lösning på detta?

Det finns två trevliga satser för en romb vi kan använda här. Om vi låter diagonalerna ha längderna $d_1$ och $d_2$ gäller det att $4a^2 = d_1^2+d_2^2$. En annan sats är att arean på romben ges av $A=d_1d_2/2$. 

Då får vi att $(2d)^2 = (d_1+d_2)^2 = d_1^2 + d_2^2 + 2d_1d_2= 4a^2 + 4A$. Förenkling ger oss facits svar $A = d^2-a^2$.

Anledningen till att den första satsen gäller är att alltid skär diagonalerna mitt itu och i en rät vinkel 
Då ger Pythagoras sats att $a^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$ vilket förenklas till sats 1.

För sats 2: De fyra trianglarna är kongruenta enligt figuren ovan. Summan av deras areor är rombens area. Alltså är arean på en av trianglarna $A/4$. Dessutom ges triangeln area av basen * höjden/2 $=\frac 12 \cdot \frac {d_1}2\cdot \frac {d_2}2 = \frac{d_1 d_2}8$. Alltså har vi $A/4 = \frac{d_1 d_2}8$ och därmed är $A = \frac{d_1 d_2}2$. 

Nu är jag lite sur för detta inlägg behövde jag skriva IGEN då det inte lades upp. "Kommentar tillagd", nej det blev den inte!

Min lösning ovan använder en del egenskaper hos en romb man kanske inte känner till. Jag minns inte riktigt hur jag löste denna fråga när jag själv pluggade för MaFy förra året. Men följande lösning använder mycket färre rombegenskaper och känns mer naturlig att komma på under provet.

Vi kallar igen diagonalerna för $d_1$ och $d_2$. Vi döper en av vinklarna till $\alpha$. Rombens andra vinkel blir då $\pi-\alpha$, enligt bilden nedan

(Jag ritar inte ut den andra diagonalen/vinkeln så att man faktiskt kan se något!)

Arean av romben ges av bas gånger höjd, dvs $A=a \cdot a\sin\alpha = a^2\sin \alpha$

Cosinussatsen ger oss att

$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos\alpha = 2a^2(1-\cos\alpha)$ eller $d_1 = a\sqrt 2 \cdot \sqrt{1-\cos\alpha}$

Om vi använder cosinussatsen på den andra vinkeln får vi att 

$d_2^2 =a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(\pi-\alpha) = 2a^2 + 2a^2\cos\alpha = 2a^2(1+\cos\alpha)$ eller $d_2 = a\sqrt 2 \cdot \sqrt{1-\cos\alpha}$

Likt den föregående har vi då 

$4d^2 = \left(2d\right)^2 =\left(d_1+d_2\right)^2 = d_1^2+d_2^2 + 2d_1d_2$

Insättning av våra värden från cosinussatsen ger

$4d^2 = 2a^2\left(1-\cos\alpha\right)+2a^2\left(1+\cos\alpha\right)+2\cdot \underbrace{a\sqrt 2 \cdot \sqrt{1-\cos\alpha}}_{d_1} \cdot \underbrace{a\sqrt 2 \cdot \sqrt{1+\cos\alpha}}_{d_2}$

Detta förenklas ned till

$4d^2 = 4a^2 + 4a^2\sqrt{1-\cos^2\alpha} = 4a^2 + 4\underbrace{a^2\sin\alpha}_A = 4a^2 + 4A$

Därmed är $A=d^2-a^2$.