Hur stor är den inskrivna kvadraten? (Matematik/Allmänna diskussioner)

Jag förstår inte hur du har kommit fram till det. Har du något ungefärvärde?

Hej och välkommen hit.

Jag skulle börja med att rita

En lodrät linje genom kvadratens punkt på hypotenusan.
En vågrät linje genom kvadraten punkt på vänstra kateten.

Då hittar vi två små trianglar som är lika: en nere till vänster och en där våra nya linjer är kateter.

Ser du det?

Just som Bubo föreslår. Såna här uppgifter bygger ofta på att man skall

rita "hjälplinjer" för att finna ("se") samband mellan trianglar. Här kan det vara naturligt att rita någon sådan linje, horisontell eller vertikal.

Med förslaget i figuren, med den streckade linjen,

ger likformighet (vinklarna där kvadraten möter den stora triangelns lilla katet) att denna streckade linje har längden 3.

Kan du sen med hjälp av att toppvinkeln är 60 grader komma vidare? Eller var det för stora steg?

Visa spoiler

Skriv ditt dolda innehåll här

Ur figuren, 30, 60, 90 graders triangel, fås nu att den övre halvan av kateten, som är 3, delas upp i bitarna $\sqrt{3} o c h 3 - \sqrt{3}$ . Sen kan a fås genom Pythagoras sats på triangeln ABC.

Ezra skrev:
Jag förstår inte hur du har kommit fram till det. Har du något ungefärvärde?

Min lösning är för avancerad för att vara bra i det här problemet (även om den innehåller några tekniskt intressanta steg). Följ Bubo istället, eller som hansa visar.

Tack för intresset. Ni är smarta. Jag frågade ChatGPT och den klarade det inte. Ezra

Kan man verkligen skriva in en kvadrat i en 30/60/90-triangel på det här viset ?
Hur gör man då? Visa att det inte är en synvilla ;-)

Arktos skrev:
Kan man skriva in en kvadrat i en 30/60/90-triangel på det här sättet ?
Visa att det inte är en synvilla

Hur menar du?

Figuren i #1 är inte övertygande
Figurerna i #3 är inte heller övertygande
Figuren i #2 verkar stämma, i alla fall så här med ögonmått.
Kan den konstrueras med passare och linjal?

Arktos skrev:
Kan man verkligen skriva in en kvadrat i en 30/60/90-triangel på det här viset ?
Hur gör man då? Visa att det inte är en synvilla ;-)

Ett bivillkor här är ju att vänstra kontaktpunkten är exakt mitt på kateten.

Tar man bort det villkoret får det naturligtvis plats en större kvadrat. Var det så du tänkte?

Varifrån kommer uppgiften?

Arktos skrev:
Figuren i #1 är inte övertygande
Figurerna i #3 är inte heller övertygande
Figuren i #2 verkar stämma, i alla fall så här med ögonmått.
Kan den konstrueras med passare och linjal?

Vet ej om det går att skapa med P+L på ett enkelt sätt. Men det är en intressant fråga.

Figuren jag gjorde använder de värden på hörnpunkter som jag beräknade, men som du säger kan man aldrig skilja på 89.9° och 90° med ögat.

Bubo skrev:
Arktos skrev:
Kan man verkligen skriva in en kvadrat i en 30/60/90-triangel på det här viset ?
Hur gör man då? Visa att det inte är en synvilla ;-)

Ett bivillkor här är ju att vänstra kontaktpunkten är exakt mitt på kateten.

Tar man bort det villkoret får det naturligtvis plats en större kvadrat. Var det så du tänkte?

OK, det ska vi förstås ha med i den här uppgiften.
Det bara slog mig att vi ännu inte sett att konstruktionen är möjlig.
Bara att någon påstår att det går...

Arktos skrev:
Bubo skrev:
Arktos skrev:
Kan man verkligen skriva in en kvadrat i en 30/60/90-triangel på det här viset ?
Hur gör man då? Visa att det inte är en synvilla ;-)

Ett bivillkor här är ju att vänstra kontaktpunkten är exakt mitt på kateten.

Tar man bort det villkoret får det naturligtvis plats en större kvadrat. Var det så du tänkte?

OK, det ska vi förstås ha med i den här uppgiften.
Det bara slog mig att vi ännu inte sett att konstruktionen är möjlig.
Bara att någon påstår att det går...

De beräknade värdena visar att det går. När man väl funnit att en sträcka är 3-R(3) är det lätt att skapa detta med P+L, men om man inte känner till längder, är det troligen knepigare.

Men då utgår man väl från att det verkligen är en kvadrat man har
med en hörnpkt mitt på den korta kateten,
en på hypotenusan och en på den långa kateten.
Den fjärde hörnpkten gårdå att konstruera.
Återstår bara att visa att de verkligen bildar en kvadrat

Arktos skrev:
Men då utgår man väl från att det verkligen är en kvadrat man har
med en hörnpkt mitt på den korta kateten,
en på hypotenusan och en på den långa kateten.
Den fjärde hörnpkten gårdå att konstruera.
Återstår bara att visa att de verkligen bildar en kvadrat

Jag är nog lite slö idag, men jag ser inte svårigheten. Man utgår från en triangel och en kvadrat och beräknar och kommer fram till "vettiga" värden (d.v.s. inte -3 eller -R(3)/2), vilket visar att en sådan figur existerar. Eller missar jag något existentiellt begrepp?

Ifall den där vinkeln 30 grader hade varit mycket mindre, så skulle ett av kvadratens hörn hamnat utanför triangeln.

I så fall hade bilden varit "omöjlig ", i någon mening.

Gäller diskussionen om det går att konstruera figuren med passare och linjal eller om den överhuvudtaget är möjlig? I det senare fallet finns flera olika sätt att resonera sig fram till att den är möjlig - för trianglar med vinklar inom vissa gränser. Och nu gällde det en 30-60-90-graderstriangel.

För övrigt, kan man kalla en kvadrat inskriven när ett hörn "hänger i luften"?
De två sidor som bildar det hörnet används inte i lösningarna.

Louis skrev:
Gäller diskussionen om det går att konstruera figuren med passare och linjal eller om den överhuvudtaget är möjlig? I det senare fallet finns flera olika sätt att resonera sig fram till att den är möjlig - för trianglar med vinklar inom vissa gränser. Och nu gällde det en 30-60-90-graderstriangel.

För övrigt, kan man kalla en kvadrat inskriven när ett hörn "hänger i luften"?
De två sidor som bildar det hörnet används inte i lösningarna.

Man skulle kanske kunna reducera det till en halv kvadrat, den blir då inskriven om vi menar att varje hörn ligger på en sida. Det är rätt att det 4:e hörnet som "hänger fritt" är ointressant.

Louis skrev:
Gäller diskussionen om det går att konstruera figuren med passare och linjal eller om den överhuvudtaget är möjlig? I det senare fallet finns flera olika sätt att resonera sig fram till att den är möjlig - för trianglar med vinklar inom vissa gränser. Och nu gällde det en 30-60-90-graderstriangel.

För övrigt, kan man kalla en kvadrat inskriven när ett hörn "hänger i luften"?
De två sidor som bildar det hörnet används inte i lösningarna.

Jag vet inte vad som efterfrågas, men det skulle vara intressant att se en L+P-lösning.

Om man utgår från punkten O=(0,3) och drar en cirkel med radie x träffar denna hypotenusan i P och den vågräta kateten i Q. Är strålarna OP och OQ vinkelräta? Det är nog den fråga som ställs ovan, givet en helt geometrisk lösning anno 2000 f.Kr.

Ja, börjar man med ett stort x blir vinkeln spetsig för att växa med minskande x.
För ett visst x blir den rät. Men jag kan inte föreställa mig hur konstruktionen skulle kunna se ut.
Skulle vara kul om några känner sig utmanade.

Jag gör en baklängeskonstruktion. Basen AB och X är givna, och vinkeln $\alpha$ är vinkeln mellan XY och XB. I mitten är extremfallet när det inte blir någon triangel. Till höger extremfallet när kvadraten är minimal. Till vänster ett fall när vinkeln C är nära noll. Vinkeln C är en kontinuerlig funktion av $\alpha$ , så C måste kunna bli 30 grader för något $\alpha$ .

Hur man konstruerar geometriskt vet jag dock inte.

Louis skrev:
Ja, börjar man med ett stort x blir vinkeln spetsig för att växa med minskande x.
För ett visst x blir den rät. Men jag kan inte föreställa mig hur konstruktionen skulle kunna se ut.
Skulle vara kul om några känner sig utmanade.

Min första lösning (alltför onödigt avancerad med tanke på att Bubo och Hansa presenterade en kortare och elegantare) inleder med att anta en vinkel alpha för Origo-Q-O och sedan att vinkeln QOP är rät, men här antar jag, per konstruktion, att vinkeln är rät, och fortsätter sedan att beräkna x (det som efterfrågas). Lite grisiga räkningar. Men det är omvändningen, att man antar att vinkeln är 90°. Tvärtom, med P+L, är ett intressantare problem, iaf mera "klassiskt".

Angående att konstruera figuren med passare och linjal.

Att konstruera först den röda sträckan och sedan den gröna är lätt.
Och då har man funnit kvadratens hörn på den stora triangelns hypotenusa.
Sedan är det bara att arbeta sig vidare.

Det hela bygger förstås på att man först sett hur kvadraten kan delas in i kongruenta trianglar.

Louis skrev:
Angående att konstruera figuren med passare och linjal.

Att konstruera först den röda sträckan och sedan den gröna är lätt.
Och då har man funnit kvadratens hörn på den stora triangelns hypotenusa.
Sedan är det bara att arbeta sig vidare.

Det hela bygger förstås på att man först sett hur kvadraten kan delas in i kongruenta trianglar.

Ja, det är den lösningen man tänker på först. Jag tänkte mest om man helt eliminerade beräkningar och bara utgick från en konstruktion. Det kanske inte går.

En annan möjlighet är att direkt skapa sträckan

Det är inte svårt med P+L men sedan gäller det att visa att sidorna är vinkelräta.

Geometrisk konstruktion är tacksamt bortglömt idag, men imponerande. Lite som origami.

Här är hur man konstruerar rot-tal

https://math.stackexchange.com/questions/705/compass-and-straightedge-construction-of-the-square-root-of-a-given-line

Fina figurer och resonemang, men jag förstår fortfarande inte varför den röda linjen ovan har längden 3. Den som kommer från Hansas inlägg #3.

Jag undrar fortfarande om det är möjligt att lägga in en kvadrat på det här viset i en 30/60/90-triangel.

Laguna antyder i #23 ett sätt att kontrollera saken men där hänger jag inte riktigt med i figurerna.
Kan det vara ett resonemang i den här stilen:
1. Dra en linje snett uppåt från mittpunkten på den korta kateten och se var den skär hypotenusan. Hur lång är den sträckan?
2. Dra en normal till denna linje från samma mittpunkt nedåt och se var den skär den långa kateten. Hur lång är den sträckan?
3, Variera lutningen på den första linjen och gör om hela manövern tills de båda sträckorna blir lika långa (eller visa att det inte går).

Något för en illustration i Mathematica eller Desmos? Rentav en animation?

Alla A-trianglar är kongruenta

#27

Ja, det är fullt möjligt. Vad skulle säga motsatsen? Olika sätt att beräkna kvadratens sida visar på ett positivt värde vilket bevisar existensen.

Om jag får kommentera min figur med en ny figur.

Här konstruerar jag först med passare och linjal och utan några beräkningar en romb (halva romben utritad).
Detta för frågan om figuren kan konstrueras på det sättet.

Sedan kan jag bevisa att den romb som konstrueras just så är en kvadrat. De två mindre trianglarna är kongruenta, vilket ger att vinkel EDH är rät. Vilket besvarar Arktos fråga om kvadraten är möjlig.

#30

Ser fint ut. Jag tror att vi behöver 2 gröna punkter, en vid D och en vid högra sidan av en vertikal spegling av DG i G, för att motivera korsningen över (3) (mittdelning av en sträcka). Just nu luras man av att DG-strålen skär AC och den högra delen, som skär hypoenusan =|= [DG].

Jag satte passarspetsen i G och gjorde de små gröna markeringarna på lika avstånd från G.
Sedan ritade jag de gröna bågarna med medelpunkter i de markeringarna.

Jag tycker att det är lättast att förstå hur trianglarna förhåller sig till varandra om man ritar in den ursprungliga kvadraten i en större kvadrat. Då ser man att det bildas en triangel uppe till vänster som har en vinkel som är 60 grader och en katet som är 3. Precis som hansa visar. Sedan är det lätt att gå vidare.

Louis skrev:
Jag satte passarspetsen i G och gjorde de små gröna markeringarna på lika avstånd från G.
Sedan ritade jag de gröna bågarna med medelpunkter i de markeringarna.

Aha! Jag trodde de symboliserade "lika sträckor"... Seg... :)

Arktos skrev:
Fina figurer och resonemang, men jag förstår fortfarande inte varför den röda linjen ovan har längden 3. Den som kommer från Hansas inlägg #3.

Jag undrar fortfarande om det är möjligt att lägga in en kvadrat på det här viset i en 30/60/90-triangel.

Laguna antyder i #23 ett sätt att kontrollera saken men där hänger jag inte riktigt med i figurerna.

Jag kanske förvirrade genom att ställa triangeln på den korta kateten, det kändes bättre så.

Det jag ville visa var att eftersom det jag kallar C är en kontinuerlig funktion av det jag kallar alfa, och C varierar mellan 0 och 45 grader, så kan den också anta värdet 30 grader. Det vill säga, det finns en sådan kvadrat.

Laguna skrev:
Arktos skrev:
Fina figurer och resonemang, men jag förstår fortfarande inte varför den röda linjen ovan har längden 3. Den som kommer från Hansas inlägg #3.

Jag undrar fortfarande om det är möjligt att lägga in en kvadrat på det här viset i en 30/60/90-triangel.

Laguna antyder i #23 ett sätt att kontrollera saken men där hänger jag inte riktigt med i figurerna.

Jag kanske förvirrade genom att ställa triangeln på den korta kateten, det kändes bättre så.

Det jag ville visa var att eftersom det jag kallar C är en kontinuerlig funktion av det jag kallar alfa, och C varierar mellan 0 och 45 grader, så kan den också anta värdet 30 grader. Det vill säga, det finns en sådan kvadrat.

Ja, så är det. Här är en enklare graf med alpha på horisontella axeln och gamma (vinkeln vid C) på lodräta axeln.

Ezra skrev:
Jag tycker att det är lättast att förstå hur trianglarna förhåller sig till varandra om man ritar in den ursprungliga kvadraten i en större kvadrat. Då ser man att det bildas en triangel uppe till vänster som har en vinkel som är 60 grader och en katet som är 3. Precis som hansa visar. Sedan är det lätt att gå vidare.

Är det så här det hänger ihop?

Den yttre kvadraten ihop med den inre bildar fyra kongruenta trianglar runt den inre kvadraten. Den långa kateten i var och en av dessa är därför lika med 3 (som den undre hälften av den korta kateten i den stora triangeln) och hypotenusan är lika med x (den inre kvadratens sida) i alla fyra trianglarna.

Se #25 #26 och #28.

'Och i #30 visar Louis att den inre kvadraten faktiskt går att konstruera.

I så fall återstår det bara att beräkna sidlängden på den inre kvadraten.

Vad kan den bli?

Det kanske kan hjälpa förståelsen (överblicken) att rita som Ezra gjorde.
Men det är bara de två vänstra kongruenta trianglarna som vi behöver.
Som konstaterats ovan är det också bara den vänstra halvan av kvadraten som är av intresse.
Bara en sträcka behöver ritas, den blå som har längden 3 pga kongruensen. (Bubo föreslog att vi ritar två sträckor :) )

Sedan är det bara att använda Pythagoras på den blå triangeln, så som hansa visat.

Fin sammanfattning!

Nu inser jag varför sträckan AB i Hansas inlägg #5 har längden 3.
Till det behövdes dock tricket med de fyra rätvinkliga trianglarna
som blev tydligt i #25 efter Louis konstruktion i #30 och
Ezras skiss i #33, många stödjande inlägg!

Lagunas resonemang i #23
och Trinitys komplement i #36 graferna
ger en annat resonemang för att visa att den ursprungliga figuren i #1 är möjlig.

Hur hänger de ihop?
Kan det göras tydligare?

Arktos skrev:
Lagunas resonemang i #23
och Trinitys komplement i #36 graferna
ger en annat resonemang för att visa att den ursprungliga figuren i #1 är möjlig.

Hur hänger de ihop?
Kan det göras tydligare?

Menar du hur man härleder funktionen?

Ja, för tydlighetens skull

Ja, figurer och funktioner

Arktos skrev:
Ja, figurer och funktioner

OK, jag skall värma upp min iPad... Apple Pen strular dock... men det skall nog gå...

OK, här kommer en härledning utan några av de trix som visats tidigare. Den grundar sig på en vinkel alpha som ger upphov till en kvadratsida a och en funktion för toppvinkeln gamma som sedan skall lösas för gamma=30°

Väl kämpat!

Fram t o m grafen hängde jag med.
Sedan blev det kärvt.

Nästa rad är direkt kopplad till grafen (såg jag först efter en bra stund).
[Långa kateten i lilla figuren ska förstås vara rot(3)]
C = (0, -6k) skulle ha förklarat y₀ = -6k för mig.

Sedan blev det stopp igen tills jag på slutet insåg att
a₀ avser den kvadratsida som svarar mot vinkeln $α_{0}$ .
Lilla fig med $β$ etc undrar jag fortfarande över, men nu får det vara bra.

Tack för genomgången!

Arktos skrev:
Väl kämpat!

Fram t o m grafen hängde jag med.
Sedan blev det kärvt.

Nästa rad är direkt kopplad till grafen (såg jag först efter en bra stund).
[Långa kateten i lilla figuren ska förstås vara rot(3)]
C = (0, -6k) skulle ha förklarat y₀ = -6k för mig.

Sedan blev det stopp igen tills jag på slutet insåg att
a₀ avser den kvadratsida som svarar mot vinkeln $α_{0}$ .
Lilla fig med $β$ etc undrar jag fortfarande över, men nu får det vara bra.

Tack för genomgången!

Denna figur brukar man använda för att "tolka" vad cos() betyder uttryckt i tan()

Vi sätter

tan(b)=y/1=y

Vi tillämpar P's sats och får hyp till rot(y^2+1)

Vi vet att cos(b)=1/hyp=1/rot(y^2+1)

Med y=1-1/R(3) har vi alltså att

1/cos(alpha0)=R(y^2+1)=R( (1-1/R(3))^2+1 )

Man behöver göra detta "triangel-trick" ett par gånger för att bli van vid det. Det återkommer mycket i Analys1.