Hur stor ska radien för det inre skal vara och hur stor är spänning?

Använd Gauss lag.

PATENTERAMERA skrev:

Använd Gauss lag.

Hur kommer Gauss lag in i bilden? 

Antag att du får en laddning Q på den inre sfären. Gauss lag låter dig beräkna det elektriska fältet mellan sfärerna.

PATENTERAMERA skrev:

Antag att du får en laddning Q på den inre sfären. Gauss lag låter dig beräkna det elektriska fältet mellan sfärerna.

Menar du att man ska räkna ut E-fält mellan radierna ra och rb som det visas i figuren? Jag antar att man inte ska fokusera på r<r_a och r>r_b?

Ja, precis. Tänk dig en sfär med radien r sådan att r_a < r < r_b.

Gauss lag säger att $4{\pi r}^{2}E\left(r\right)=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, precis. Tänk dig en sfär med radien r sådan att r_a < r < r_b.

Gauss lag säger att $4{\pi r}^{2}E\left(r\right)=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$.

Ok jag förstår . Q är okänd

Ja, men du kan uttrycka den mha dem maximalt tillåtna fältstyrkan E_max.

Fältet är som starkast vid den lilla sfärens yta. Så vi har att den största laddningen ges av

$4{\mathrm{\pi \epsilon }}_0{\mathrm{r}}_{\mathrm{a}}^2{\mathrm{E}}_{\max }=\mathrm{Q}.$

PATENTERAMERA skrev:

Ja, men du kan uttrycka den mha dem maximalt tillåtna fältstyrkan E_max.

Fältet är som starkast vid den lilla sfärens yta. Så vi har att den största laddningen ges av

$4{\mathrm{\pi \epsilon }}_0{\mathrm{r}}_{\mathrm{a}}^2{\mathrm{E}}_{\max }=\mathrm{Q}.$

Hur vet man att fältet är maximalt vid den inre sfärens radie? Tänker man att fältet är som starkast ju närmare partikeln vi befinner oss och fältet avtar ju längre bort vi befinner oss?

Fältet är proportionellt mot 1/r² så ju mindre radie, desto starkare fält.

PATENTERAMERA skrev:

Fältet är proportionellt mot 1/r² så ju mindre radie, desto starkare fält.

Ok, om avståndet ökar så avtar fältet och om avståndet är minskar så ökar fältet? Här är alltså r_a<r_b?

Ja. r_a lilla sfären och r_b stora sfären.

PATENTERAMERA skrev:

Ja. r_a lilla sfären och r_b stora sfären.

Ok. Men det blir knepigt när detta ska användas i potential formeln 

Du kan lösa ut E(r) från #6 och sätta in Q från #8.

Sedan kan du få spänningen genom integrering

U = V_b - V_a = $-{\int }_{r_a}^{r_b}E\left(r\right)dr$.

PATENTERAMERA skrev:

Du kan lösa ut E(r) från #6 och sätta in Q från #8.

Sedan kan du få spänningen genom integrering

U = V_b - V_a = $-{\int }_{r_a}^{r_b}E\left(r\right)dr$.

Ok ska testa!

Hur gör man när man ska integrera ? Vi har r_a i täljaren och r i nämnaren 

Du integrer map r. r_a kan ses som en konstant.

PATENTERAMERA skrev:

Du integrer map r. r_a kan ses som en konstant.

Men r_a är väl radien som söks i den inre sfären?

Ja.

PATENTERAMERA skrev:

Ja.

Hur kan den betraktas som konstant?

Den är konstant under integrationen som sker över r. Efter att du integrerat kan du betrakta den som variabel för att maximera spänningen som funktion av r_a.

PATENTERAMERA skrev:

Den är konstant under integrationen som sker över r. Efter att du integrerat kan du betrakta den som variabel för att maximera spänningen som funktion av r_a.

Ok. Men jag förstår inte andra meningen där man betraktar r som variabel för att maximera spänning som funktion av r_a?

När du integrar så får du till sist ett uttryck för spänningen som beror av r_a. Du väljer sedan det värde på r_a som maximerar spänningen. Tex med hjälp av derivata eller inspektion.

Tror det är bättre att definiera spänningen som $U\left(r_a\right)=E_{max}{r}_a^2{\int }_{r_a}^{r_b}\frac{1}{r^2}dr$ så att det blir ett positivt värde.

PATENTERAMERA skrev:

När du integrar så får du till sist ett uttryck för spänningen som beror av r_a. Du väljer sedan det värde på r_a som maximerar spänningen. Tex med hjälp av derivata eller inspektion.

Tror det är bättre att definiera spänningen som $U\left(r_a\right)=E_{max}{r}_a^2{\int }_{r_a}^{r_b}\frac{1}{r^2}dr$ så att det blir ett positivt värde.

Ok så vi söker ett värde på r_a som maximerar spänningen ? Då behöver man derivera U map på r? U(r)=Emaxr_a^2*(1/rb -1/ra)

Ja, eller så ser man att det är ett andragradspolynom i r_a.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, eller så ser man att det är ett andragradspolynom i r_a.

Blir det inte bara dU/dr(r_a)=Emax(2r_a/rb-1)=0?=>2Emaxr_a/rb=Emax=> r_a=r_b/2

Ja, det fick jag också.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, det fick jag också.

Hur ska man hitta den sökta spänningen då? Jag antar att man ska bara stoppa in punkten r_a i funktionen för potentialen.

Vi hade ett uttryck för U.

$U=r_a^2·E_{max}· {\int }_{r_a}^{r_b}\frac{1}{r^2}dr=r_a^2·E_{max}· \left[\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right]$.

PATENTERAMERA skrev:

Vi hade ett uttryck för U.

$U=r_a^2·E_{max}· {\int }_{r_a}^{r_b}\frac{1}{r^2}dr=r_a^2·E_{max}· \left[\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right]$.

Ja men jag får ett negativt värde på U. Såhär såg mitt uttryck ut för U.

Som jag sa i #23

PATENTERAMERA skrev:

Som jag sa i #23

Jag tror inte jag förstår riktigt. U :s integral har ett negativt tecken framför som du skrev innan. I vår formelsamling så står det såhär

Ja det var det som jag utnyttjade. Fast jag tänkte mig först att definiera U = V_ba = V_b - V_a, men då blir U negativt, så det blir snyggare att sätta U = V_ab = V_a - V_b, för då blir U ett positivt värde, som jag noterade i #23. Men det är väl en smaksak.

PATENTERAMERA skrev:

Ja det var det som jag utnyttjade. Fast jag tänkte mig först att definiera U = V_ba = V_b - V_a, men då blir U negativt, så det blir snyggare att sätta U = V_ab = V_a - V_b, för då blir U ett positivt värde, som jag noterade i #23. Men det är väl en smaksak.

Ja precis jag tror det är bra att använda formel samlingens konvention. Jag missade det.