hur svarar man/motiverar?

Låt 

f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

Enligt uppgiftstexten är f(x) strängt växande för alla x. Den kan aldrig "vända nedåt", utan enbart stiga. Har den väl korsat y=0 (x-axeln) kommer den aldrig att korsa igen. Det gör att alla f(x) med jämna gradtal kan förkastas, eftersom f(-oo) = f(oo) = oo men f(0)=a_0.

Alltså har f(x) ett udda gradtal, är strängt växande och korsar endast 1 gång.

Exempel är 

f(x) = x^3

f(x) = x^5

f(x) = x^7

f(x) = x^3 + x

f(x) = x^3 + x + 1

f(x) = x^5 + x^3 + x

och oändligt många liknande polynom.

Jo, men gradtalet har ju inget med själva frågan att göra. 

En funktion som är är strängt växande överallt har exakt ett nollställe.

e^x är väl en sådan funktion?

Laguna skrev:

e^x är väl en sådan funktion?

Oj! Tack! Det tänkte jag inte på.

Frågan är särskilt om polynom. 

Trinity2 skrev:

Låt 

f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

Enligt uppgiftstexten är f(x) strängt växande för alla x. Den kan aldrig "vända nedåt", utan enbart stiga. Har den väl korsat y=0 (x-axeln) kommer den aldrig att korsa igen. Det gör att alla f(x) med jämna gradtal kan förkastas, eftersom f(-oo) = f(oo) = oo men f(0)=a_0.

Alltså har f(x) ett udda gradtal, är strängt växande och korsar endast 1 gång.

Exempel är 

f(x) = x^3

f(x) = x^5

f(x) = x^7

f(x) = x^3 + x

f(x) = x^3 + x + 1

f(x) = x^5 + x^3 + x

och oändligt många liknande polynom.

okej så derivatan är bara positiv hela tiden alltså växer den hela tiden, därför finns det bara ett nollställe, tackkk

Som Trinity2:s lösning visar räcker det inte att konstatera att $f$ är strängt växande och att det därför finns exakt en lösning till $f(x) = 0$.

Att $f$ är strängt växande innebär att det finns som mest en lösning, men vi har inte visat varför ekvationen inte kan ha noll lösningar. Detta kan man motivera genom att visa att 1) ekvationen har exakt en lösning om $f$ har udda grad, samt 2) $f$ kan inte ha jämn grad.