hur svarar man/motiverar?

Låt 

f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

Enligt uppgiftstexten är f(x) strängt växande för alla x. Den kan aldrig "vända nedåt", utan enbart stiga. Har den väl korsat y=0 (x-axeln) kommer den aldrig att korsa igen. Det gör att alla f(x) med jämna gradtal kan förkastas, eftersom f(-oo) = f(oo) = oo men f(0)=a_0.

Alltså har f(x) ett udda gradtal, är strängt växande och korsar endast 1 gång.

Exempel är 

f(x) = x^3

f(x) = x^5

f(x) = x^7

f(x) = x^3 + x

f(x) = x^3 + x + 1

f(x) = x^5 + x^3 + x

och oändligt många liknande polynom.

Jo, men gradtalet har ju inget med själva frågan att göra. 

En funktion som är är strängt växande överallt har exakt ett nollställe.

e^x är väl en sådan funktion?

Laguna skrev:

e^x är väl en sådan funktion?

Oj! Tack! Det tänkte jag inte på.

Frågan är särskilt om polynom. 

Trinity2 skrev:

Låt 

f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

Enligt uppgiftstexten är f(x) strängt växande för alla x. Den kan aldrig "vända nedåt", utan enbart stiga. Har den väl korsat y=0 (x-axeln) kommer den aldrig att korsa igen. Det gör att alla f(x) med jämna gradtal kan förkastas, eftersom f(-oo) = f(oo) = oo men f(0)=a_0.

Alltså har f(x) ett udda gradtal, är strängt växande och korsar endast 1 gång.

Exempel är 

f(x) = x^3

f(x) = x^5

f(x) = x^7

f(x) = x^3 + x

f(x) = x^3 + x + 1

f(x) = x^5 + x^3 + x

och oändligt många liknande polynom.

okej så derivatan är bara positiv hela tiden alltså växer den hela tiden, därför finns det bara ett nollställe, tackkk

Som Trinity2:s lösning visar räcker det inte att konstatera att $f$ är strängt växande och att det därför finns exakt en lösning till $f(x) = 0$.

Att $f$ är strängt växande innebär att det finns som mest en lösning, men vi har inte visat varför ekvationen inte kan ha noll lösningar. Detta kan man motivera genom att visa att 1) ekvationen har exakt en lösning om $f$ har udda grad, samt 2) $f$ kan inte ha jämn grad.

Gustor skrev:

Som Trinity2:s lösning visar räcker det inte att konstatera att $f$ är strängt växande och att det därför finns exakt en lösning till $f(x) = 0$.

Att $f$ är strängt växande innebär att det finns som mest en lösning, men vi har inte visat varför ekvationen inte kan ha noll lösningar. Detta kan man motivera genom att visa att 1) ekvationen har exakt en lösning om $f$ har udda grad, samt 2) $f$ kan inte ha jämn grad.

och hur ska jag visa med hjälp av funktionens grad när jag inte har funktionen

hoppasjagklararnatur skrev:

Gustor skrev:

Som Trinity2:s lösning visar räcker det inte att konstatera att $f$ är strängt växande och att det därför finns exakt en lösning till $f(x) = 0$.

Att $f$ är strängt växande innebär att det finns som mest en lösning, men vi har inte visat varför ekvationen inte kan ha noll lösningar. Detta kan man motivera genom att visa att 1) ekvationen har exakt en lösning om $f$ har udda grad, samt 2) $f$ kan inte ha jämn grad.

och hur ska jag visa med hjälp av funktionens grad när jag inte har funktionen

Du vet att $f$ är en polynomfunktion. Då har polynomet alltid något gradtal. Om vi i vårt resonemang kommer till något insikt om att en egenskap beror av huruvida polynomet har jämnt eller udda gradtal, då kan vi täcka in alla möjliga sorters $f$ genom att dela upp det i två fall: antingen har $f$ udda gradtal, eller så har $f$ jämnt gradtal. Det är i princip vad Trinity2 gör i sin lösning i inlägg #2, där fallet med jämnt gradtal direkt förkastas. 

Ett liknande resonemang skulle kunna vara:

1. $f'(x) >0$ betyder att $f$ är strängt växande.
2. En strängt växande funktion kan skära $x$-axeln som mest en gång.
3. Om $f$ har udda gradtal så gäller att $f(x)\to -\infty$ då $x\to -\infty$ och $f(x)\to +\infty$ då $x\to +\infty$. För alla sådana (kontinuerliga) funktioner innebär detta att $f$ måste skära $x$-axeln någonstans (minst en gång). 
4. Steg 2 och 3 innebär att om $f(x)$ har udda gradtal och är strängt växande, så har ekvationen $f(x)=0$ exakt en lösning.
5. Vi har nu undersökt vad som händer om $f(x)$ har udda gradtal. För att täcka in alla möjliga polynomfunktioner behöver vi även studera vad som händer när $f$ har jämnt gradtal. Eftersom varje polynom antingen har udda eller jämnt gradtal, så täcker dessa två fall tillsammans in alla möjliga polynomfunktioner $f(x)$.
6. Om $f$ har jämnt gradtal kan inte villkoret $f'(x)>0$ gälla för alla $x$. Ett finurligt sätt att visa detta på är att konstatera att om $f(x)$ har jämnt gradtal så har $f'(x)$ udda gradtal (ett mindre än för $f(x)$), och som vi just visat så kan inte en polynomfunktion med udda gradtal vara positiv överallt. 
7. Det betyder att $f(x)$ inte kan ha jämnt gradtal.
8. Alltså har $f$ udda gradtal och därför har ekvationen $f(x)=0$ exakt en lösning enligt steg 4.

Gustor skrev:

hoppasjagklararnatur skrev:

Visa föregående citat

Gustor skrev:

Som Trinity2:s lösning visar räcker det inte att konstatera att $f$ är strängt växande och att det därför finns exakt en lösning till $f(x) = 0$.

Att $f$ är strängt växande innebär att det finns som mest en lösning, men vi har inte visat varför ekvationen inte kan ha noll lösningar. Detta kan man motivera genom att visa att 1) ekvationen har exakt en lösning om $f$ har udda grad, samt 2) $f$ kan inte ha jämn grad.

och hur ska jag visa med hjälp av funktionens grad när jag inte har funktionen

Du vet att $f$ är en polynomfunktion. Då har polynomet alltid något gradtal. Om vi i vårt resonemang kommer till något insikt om att en egenskap beror av huruvida polynomet har jämnt eller udda gradtal, då kan vi täcka in alla möjliga sorters $f$ genom att dela upp det i två fall: antingen har $f$ udda gradtal, eller så har $f$ jämnt gradtal. Det är i princip vad Trinity2 gör i sin lösning i inlägg #2, där fallet med jämnt gradtal direkt förkastas. 

Ett liknande resonemang skulle kunna vara:

1. $f'(x) >0$ betyder att $f$ är strängt växande.
2. En strängt växande funktion kan skära $x$-axeln som mest en gång.
3. Om $f$ har udda gradtal så gäller att $f(x)\to -\infty$ då $x\to -\infty$ och $f(x)\to +\infty$ då $x\to +\infty$. För alla sådana (kontinuerliga) funktioner innebär detta att $f$ måste skära $x$-axeln någonstans (minst en gång). 
4. Steg 2 och 3 innebär att om $f(x)$ har udda gradtal och är strängt växande, så har ekvationen $f(x)=0$ exakt en lösning.
5. Vi har nu undersökt vad som händer om $f(x)$ har udda gradtal. För att täcka in alla möjliga polynomfunktioner behöver vi även studera vad som händer när $f$ har jämnt gradtal. Eftersom varje polynom antingen har udda eller jämnt gradtal, så täcker dessa två fall tillsammans in alla möjliga polynomfunktioner $f(x)$.
6. Om $f$ har jämnt gradtal kan inte villkoret $f'(x)>0$ gälla för alla $x$. Ett finurligt sätt att visa detta på är att konstatera att om $f(x)$ har jämnt gradtal så har $f'(x)$ udda gradtal (ett mindre än för $f(x)$), och som vi just visat så kan inte en polynomfunktion med udda gradtal vara positiv överallt. 
7. Det betyder att $f(x)$ inte kan ha jämnt gradtal.
8. Alltså har $f$ udda gradtal och därför har ekvationen $f(x)=0$ exakt en lösning enligt steg 4.

kan du förklara vad detta betyder med ord, f(x)→−∞ då x→−∞ och f(x)→+∞ då x→+∞, betyder det att det är oändligt litet eller oändligt negativt, och hur visar detta att polynomfunktionen inte kan vara positiv överallt