Hur vet jag vilket egenvärde som ska stå framför vilken variabel ?

Har du bestämt en ON-bas av egenvektorer till din symmetriska matris?

Säg att basen är e₁, e₂, e₃, med tillhörande egenvärden l₁, l_2, l₃.

Vi då skriva vare vektor x som $x=\sum _{i=1}^3{x}^i{e}_i$.

Q(x) = $$\begin{gathered} {\left(\sum _{i=1}^3{x}^i{e}_i\right)}^{T}S\left(\sum _{i=1}^3{x}^i{e}_i\right)={\left(\sum _{i=1}^3{x}^i{e}_i\right)}^T\left(\sum _{i=1}^3{x}^i{l}_i{e}_i\right)=\sum _{i=1}^3{l}_i{\left(x^i\right)}^2= \\ \left[\begin{array}{ccc}{x}^1& x^2& x^3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{l}_1& 0& 0\\ 0& l_2& 0\\ 0& 0& l_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^1\\ x^2\\ x^3\end{array}\right] \end{gathered}$$

Var det det du undrade över?

PATENTERAMERA skrev:

Har du bestämt en ON-bas av egenvektorer till din symmetriska matris?

Säg att basen är e₁, e₂, e₃, med tillhörande egenvärden l₁, l_2, l₃.

Vi då skriva vare vektor x som $x=\sum _{i=1}^3{x}^i{e}_i$.

Q(x) = $$\begin{gathered} {\left(\sum _{i=1}^3{x}^i{e}_i\right)}^{T}S\left(\sum _{i=1}^3{x}^i{e}_i\right)={\left(\sum _{i=1}^3{x}^i{e}_i\right)}^T\left(\sum _{i=1}^3{x}^i{l}_i{e}_i\right)=\sum _{i=1}^3{l}_i{\left(x^i\right)}^2= \\ \left[\begin{array}{ccc}{x}^1& x^2& x^3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{l}_1& 0& 0\\ 0& l_2& 0\\ 0& 0& l_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^1\\ x^2\\ x^3\end{array}\right] \end{gathered}$$

Var det det du undrade över?

Är du säker på att det behövs? Jag försöker lösa 3b). Då behöver jag väl bara egenvärdena

Har du satt upp den symmetriska matrisen? Har du hittat egenvärden och egenvektorer?

PATENTERAMERA skrev:

Har du satt upp den symmetriska matrisen? Har du hittat egenvärden och egenvektorer?

ja

PATENTERAMERA skrev:

Har du satt upp den symmetriska matrisen? Har du hittat egenvärden och egenvektorer?

Varför behöver jag egenvektorer?

Ett vanligt sätt att diagonalisera en matris är att använda en variant av Spektralsatsen:

Då $A$ är en symmetrisk reell matris gäller att $T^{t}AT=D$

Där $T=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)$  består av egenvektorerna till $A$.

$D$ är då en diagonal matris med korresponderande egenvärden. Varje egenvärde hör alltså ihop med sin egenvektor. Och du måste lägga dem i rätt ordning, dvs om första kolonnen av $T$ består av $\mathbf{e}_1$ måste första elementet på diagonalen i $D$ vara $\lambda_1$ (korresponderande egenvärde).

Då gäller att $x^\prime=T^tx$ och den kvadratiska formen kan skrivas som

$\lambda_1(x^\prime_1)^2+\lambda_2(x^\prime_2)^2+\lambda_3(x^\prime_3)^2$

Utan att ange koordinattransformationsmatrisen $T^t$ vet du ju inte hur $x_1,\dots,x_n$ förhåller sig till $x^\prime_1,\dots,x^\prime_n$ och frågan om vilket egenvärde som ska stå framför vilken variabel saknar då mening, du får ju kalla dem vad du vill.

D4NIEL skrev:

Ett vanligt sätt att diagonalisera en matris är att använda en variant av Spektralsatsen:

Då $A$ är en symmetrisk reell matris gäller att $T^{t}AT=D$

Där $T=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)$  består av egenvektorerna till $A$.

$D$ är då en diagonal matris med korresponderande egenvärden. Varje egenvärde hör alltså ihop med sin egenvektor. Och du måste lägga dem i rätt ordning, dvs om första kolonnen av $T$ består av $\mathbf{e}_1$ måste första elementet på diagonalen i $D$ vara $\lambda_1$ (korresponderande egenvärde).

Då gäller att $x^\prime=T^tx$ och den kvadratiska formen kan skrivas som

$\lambda_1(x^\prime_1)^2+\lambda_2(x^\prime_2)^2+\lambda_3(x^\prime_3)^2$

Utan att ange koordinattransformationsmatrisen $T^t$ vet du ju inte hur $x_1,\dots,x_n$ förhåller sig till $x^\prime_1,\dots,x^\prime_n$ och frågan om vilket egenvärde som ska stå framför vilken variabel saknar då mening, du får ju kalla dem vad du vill.

Okej jag förstår! Kan det vara så att för en 2x2 matris kan man bara sätta motsvarande egenvärden framför variablerna medan i 3x3 behöver man gå igenom alla dessa steg?

Det finns väl ingen principiell skillnad mellan fallet 2x2 och fallet 3x3. Förstår inte riktigt vad du är ute efter.

PATENTERAMERA skrev:

Det finns väl ingen principiell skillnad mellan fallet 2x2 och fallet 3x3. Förstår inte riktigt vad du är ute efter.

Huvudaxelformen för en 2x2 matris kommer att kunna skrivas såhär. 

Huvudaxelformen för en 3x3 matris skrivs När jag räknar ut egenvärderna, hur vet jag vilken som är lamda1 vilken som är lamda 2 osv. 

Det kan du välja som du vill. Men tänk på att ett egenvärde kan svara mot flera linjärt oberoende egenvektorer. Du inför då en ny variabel för varje oberoende egenvektor.