Hur vet man att ln(1+sin 2x) / sin2x -> 1 då x -> 0?

Du kan kalla variabeln för x eller t eller sin x vad som helst som går mot 0 när variabeln går mot 0 - så du kan t ex inte byta ut det mot cos(x) eller e^x.

Dock måste funktionen vara kontinuerlig. Tex sign(x) = -1 om x < 0, 0 om x = 0, och 1 om x > 0. Där funkar det nog inte. Dvs nedanstående gränsvärde är inte säkert 1.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+sign(x\left)\right)}{sign\left(x\right)}=?$

henrikus skrev:

Dock måste funktionen vara kontinuerlig. Tex sign(x) = -1 om x < 0, 0 om x = 0, och 1 om x > 0. Där funkar det nog inte. Dvs nedanstående gränsvärde är inte säkert 1.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+sign(x\left)\right)}{sign\left(x\right)}=?$

Jag tror inte det här stämmer. 

Den yttre funktion, i det här fallet $\ln (1+x)$måste vara kontinuerlig i punkten gränsvärdet går mot, i det här fallet 0, men jag tror inte den inre funktionen behöver vara kontinuerlig. I ditt fall är inte problemet att sign(x) inte är kontinuerlig, utan att 

$\underset{x\to 0}{\lim }sign\left(x\right)$

inte existerar, i synnerhet är det inte 0. 

Exoth skrev:

I facit så skriver dom att ln(1+sin 2x) / sin 2x -> 1 då x -> 0, vilket jag förstår att dom använder standardgränsvärdet "ln(1+x)/x" för, men hur ska man veta att det går bra att byta ut mot just sin 2x?

Räcker det med att veta att sin 2x också går mot 0 så funkar det?

Hur ska man skriva för att svara lite mer utförligt? Om det vore prov t.ex.

 

Facit:

Vad du kan skriva för att vara mer utförlig är att du tillämpar sammansättnings regeln för gränsvärden.

Smaragdalena skrev:

Du kan kalla variabeln för x eller t eller sin x vad som helst som går mot 0 när variabeln går mot 0 - så du kan t ex inte byta ut det mot cos(x) eller e^x.

Det stämmer. Om variabeln går mot 0 men funktion går inte mot 0 funkar inte det regeln.

x går mot 0, f(x) =x³ går mot 0. 

Så: ln(1+sinx³) / x³ går mot 1. (som i regeln)