Icke-exakt differentialekvation

I instruktionerna står det att man ska lösa ODE:n endast ifall den är exakt, vilket den tydligen inte är.

Hur som helst... detta är en homogen ekvation, d.v.s. den går att skriva på formen $y^\prime = F(y/x)$. Sådant brukar exempelvis inträffa när ekvationen är skriven på formen $P(x,y) + Q(x,y)\cdot y^\prime=0$, där $P$ och $Q$ är två polynom där varje term har samma grad. I denna ekvation är $P(x,y) = 3x-y$ och $Q(x,y) = x-3y$, så varenda term har grad 1.

${(3x-y) + (x-3y) y^\prime} = 0 \iff$

${(x-3y) y^\prime = y-3x} \iff$

$y^\prime = \dfrac{y-3x}{x-3y}$

I det rationella uttrycket i HL så kan man bryta ut och förkorta x för att få ett uttryck med "y/x":

$HL = \dfrac{y-3x}{x-3y} = \dfrac{x \cdot (\frac{y}{x}-3)}{x\cdot(1-3\frac{y}{x})} = \dfrac{\frac{y}{x}-3}{1-3\frac{y}{x}}$

Differentialekvationen lyder alltså:

$y^\prime = \dfrac{\frac{y}{x}-3}{1-3\frac{y}{x}}$

Nu får man göra variabelbyte u=y/x, d.v.s. $y(x) = u(x) \cdot x$. Enligt produktregeln blir $y^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot x + u(x)$. Efter variabelbytet är differentialekvationen därmed

$x\,u^\prime + u = \dfrac{u-3}{1-3u}$

Detta är en separabel ODE:

$x\,u^\prime + u = \dfrac{u-3}{1-3u} \iff$

$x\,u^\prime = \dfrac{u-3}{1-3u} - u \iff$

$x\,u^\prime = \dfrac{3u^2-3}{1-3u} \iff$

$u(x)=1$ ELLER $u(x)=-1$ ELLER $\dfrac{1-3u}{u^2-1}\,du = \dfrac{3\,dx}{x}$

LuMa07 skrev:

I instruktionerna står det att man ska lösa ODE:n endast ifall den är exakt, vilket den tydligen inte är.

Hur som helst... detta är en homogen ekvation, d.v.s. den går att skriva på formen $y^\prime = F(y/x)$. Sådant brukar exempelvis inträffa när ekvationen är skriven på formen $P(x,y) + Q(x,y)\cdot y^\prime=0$, där $P$ och $Q$ är två polynom där varje term har samma grad. I denna ekvation är $P(x,y) = 3x-y$ och $Q(x,y) = x-3y$, så varenda term har grad 1.

${(3x-y) + (x-3y) y^\prime} = 0 \iff$

${(x-3y) y^\prime = y-3x} \iff$

$y^\prime = \dfrac{y-3x}{x-3y}$

I det rationella uttrycket i HL så kan man bryta ut och förkorta x för att få ett uttryck med "y/x":

$HL = \dfrac{y-3x}{x-3y} = \dfrac{x \cdot (\frac{y}{x}-3)}{x\cdot(1-3\frac{y}{x})} = \dfrac{\frac{y}{x}-3}{1-3\frac{y}{x}}$

Differentialekvationen lyder alltså:

$y^\prime = \dfrac{\frac{y}{x}-3}{1-3\frac{y}{x}}$

Nu får man göra variabelbyte u=y/x, d.v.s. $y(x) = u(x) \cdot x$. Enligt produktregeln blir $y^\prime(x) = u^\prime(x)\cdot x + u(x)$. Efter variabelbytet är differentialekvationen därmed

$x\,u^\prime + u = \dfrac{u-3}{1-3u}$

Detta är en separabel ODE:

$x\,u^\prime + u = \dfrac{u-3}{1-3u} \iff$

$x\,u^\prime = \dfrac{u-3}{1-3u} - u \iff$

$x\,u^\prime = \dfrac{3u^2-3}{1-3u} \iff$

$u(x)=1$ ELLER $u(x)=-1$ ELLER $\dfrac{1-3u}{u^2-1}\,du = \dfrac{3\,dx}{x}$

Aa juste jag missade att man ej behöver ta fram lösning för ODE om den inte är exakt. Hm varför är y(x)=u(x)*x?

Fysiker19 skrev:

Aa juste jag missade att man ej behöver ta fram lösning för ODE om den inte är exakt. Hm varför är y(x)=u(x)*x?

Man sätter $u = \dfrac{y}{x}$ eftersom ekvationen kunnat skrivas om på formen $y^\prime = F(\dfrac{y}{x})$

LuMa07 skrev:

Fysiker19 skrev:

Aa juste jag missade att man ej behöver ta fram lösning för ODE om den inte är exakt. Hm varför är y(x)=u(x)*x?

Man sätter $u = \dfrac{y}{x}$ eftersom ekvationen kunnat skrivas om på formen $y^\prime = F(\dfrac{y}{x})$

Jag är med på variabelsubstitutionen. Förstår bara inte hur y(x)=u(x)*x dvs hur det blev på det sättet? Är det så att du tänker dig u=y(x)/x=>x*u=y(x)?

Fysiker19 skrev:

Jag är med på variabelsubstitutionen. Förstår bara inte hur y(x)=u(x)*x dvs hur det blev på det sättet? Är det så att du tänker dig u=y(x)/x=>x*u=y(x)?

Ja, $u = \dfrac{y}{x}$ är ju ekvivalent med att $y=u\cdot x$ för alla $x\ne 0$.

LuMa07 skrev:

Fysiker19 skrev:

Jag är med på variabelsubstitutionen. Förstår bara inte hur y(x)=u(x)*x dvs hur det blev på det sättet? Är det så att du tänker dig u=y(x)/x=>x*u=y(x)?

Ja, $u = \dfrac{y}{x}$ är ju ekvivalent med att $y=u\cdot x$ för alla $x\ne 0$.

Yes men då är jag med.