Imaginära talen

Eftersom komplexa tal har två komponenter istället för bara en, så kan de beskriva mer än vanliga reella tal kan. Med ett reellt tal kan du beskriva sidan av en kvadrat som "5 cm", men om du beskriver sidan med ett komplext tal kan du säga 3+4i: "sidan är placerad så att den når 3 cm åt höger och 4 cm uppåt". Sidlängden ligger fortfarande inbakad i det påståendet, och kan räknas ut med $|3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Men utöver sidlängden innehåller alltså representationen 3+4i även information om hur sidan är orienterad. Man kan t.ex. räkna ut vinkeln mellan sidan och markplanet, om man läst trigonometri.

Den här "rumsliga" aspekten gör att komplexa tal är användbart för att beskriva rotationer och vridningar. Ett kul geometriskt exempel är detta: Ta fyra kvadrater av valfria storlekar, och placera dem i "ring" så att hörnen möts och stänger in fyrhörning. Dra sedan två streck som förbinder mittpunkterna av motstående kvadrater. De bildar då ett kors: Kan du visa att korset är i 90 grader, och att "benen" har samma längd?

Det här problemet har inga spår av "roten ur negativa tal", så komplexa tal är väl inte det första man provar. Men det visar sig att om man väljer komplexa tal för att representera sidor och förflyttningar i det här problemet blir beviset betydligt enklare än utan! Så lärdomen är väl att det komplexa talsystemet står till ditt förfogande. Verkliga problem kommer inte självmant berätta hur de bäst ska lösas, utan det gäller att ha en stor verktygslåda så man kan pröva olika angreppssätt.

Skaft skrev:

Eftersom komplexa tal har två komponenter istället för bara en, så kan de beskriva mer än vanliga reella tal kan. Med ett reellt tal kan du beskriva sidan av en kvadrat som "5 cm", men om du beskriver sidan med ett komplext tal kan du säga 3+4i: "sidan är placerad så att den når 3 cm åt höger och 4 cm uppåt". Sidlängden ligger fortfarande inbakad i det påståendet, och kan räknas ut med $|3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Men utöver sidlängden innehåller alltså representationen 3+4i även information om hur sidan är orienterad. Man kan t.ex. räkna ut vinkeln mellan sidan och markplanet, om man läst trigonometri.

Den här "rumsliga" aspekten gör att komplexa tal är användbart för att beskriva rotationer och vridningar. Ett kul geometriskt exempel är detta: Ta fyra kvadrater av valfria storlekar, och placera dem i "ring" så att hörnen möts och stänger in fyrhörning. Dra sedan två streck som förbinder mittpunkterna av motstående kvadrater. De bildar då ett kors: Kan du visa att korset är i 90 grader, och att "benen" har samma längd?

Det här problemet har inga spår av "roten ur negativa tal", så komplexa tal är väl inte det första man provar. Men det visar sig att om man väljer komplexa tal för att representera sidor och förflyttningar i det här problemet blir beviset betydligt enklare än utan! Så lärdomen är väl att det komplexa talsystemet står till ditt förfogande. Verkliga problem kommer inte självmant berätta hur de bäst ska lösas, utan det gäller att ha en stor verktygslåda så man kan pröva olika angreppssätt.

Tack för den bra förklaringen! Jag önskar att man lärde sig om detta i skolan och innebörden i vissa matematiska fenomen!

Julmust99954 skrev:

Jag önskar att man lärde sig om detta i skolan och innebörden i vissa matematiska fenomen!

Ah, men vad skulle man då göra med sin fritid? :D