Imaginära talet i

I vilket sammanhang?

Båda är korrekta.

Alltså det vi gjorde var att bara definiera vad i är för något, och att man då skulle undvika att skriva det som i=√-1 för att det inte är lika vattentätt som det andra skrivsättet.

Då faller de välkända räknereglerna för kvadratrötter.

Vad är roten ur 1? Samma som roten ur (-1)*(-1), men om det skulle vara (roten ur -1)*(roten ur -1) så skulle det vara i * i som inte alls är roten ur 1. 

Det är en vanlig missuppfattning att i är ett tal. i är ett talpar. Därför är egentligen båda skrivsätten fel så länge som man inte först DEFINIERAR multiplikationen och additionen av talpar på ett speciellt sätt och sedan IDENTIFIERAR talparet (0,1) med i och (a,0) med det reella talet a. Additionen är lättast att definiera: (a,b)+(c,d)=(a+c, b+d). Multiplikationen ser ut så här: (a,b)*(c,d)=(ac-bd, ad+bc). Enligt denna definition blir  (0,1)*(0,1)=(0*0-1*1, 0*1+1*0)=(-1,0) =-1 efter identifikationen.

En trevlig sak att notera: Om man tar mängden av heltalspar utom paren (a,0) och istället definierar (a,b)+(c,d)=(ad+bc, bd) (alltså lite krångligare en ovan) och multiplikationen(a,b)*(c,d)= (ac, bd) (alltså lite enklare än ovan) och sedan identifierar (a,1)=a  så får man de välbekanta rationella talen. För att se detta skriv bara paret (a,b) som a/b. 

Reella tal är inte heller tal, de är Dedekind-snitt. Rationella tal är inte tal, de är talpar p/q.

Den "formella" definitionen, eller iaf, den man lär sig på universitet är att $i^2=-1$, men det följer då också att $i= \sqrt{-1}$. Att den ena är mer vattentät än den andra håller jag inte med om. Det handlar helt enkelt om att veta hur man ska behandla $i$. Om man naivt försöker applicera allting som fungerar i den reella världen på komplexa tal så kan man visa orimliga samband. Men jag har aldrig sett någon göra de misstagen. Det som Bubo visar är något som alla föreläsare visar så fort man berör komplexa tal och det är ingen (Vad jag har sett iaf) som har gjort något sådant knasigt oberoende om man använde den ena eller den andra definitionen. 

Men det kanske finns andra problem med definitionen $\sqrt{-1}=i$ som jag inte tagit hänsyn till?