Implicit derivering

Det här borde stämma, jag är inte alls säker dock

V'(t) = 0.1 m^3 / min
$$\begin{gathered} r\left(t_0\right)=3 \\ h\left(t_0\right)=4 \\ h\text{'}\left(t_0\right)\hspace{0.17em}=? \end{gathered}$$

Jag söker alltså h'(t_0)? Eller?

Börja med att skriva ett uttryck för volymen givet höjden. Sedan vet du att

$V'(t) = 0.1$

Samt att du vet att

$\frac{d}{dt} V(h(t)) = V'(h)h'(t)$

Så då kommer du kunna lösa ut vad $h'(t)$ är.

Hur jag än gör så får jag fortfarande inte ihop det.

$V\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{\pi r^{2}h}{3}$
vilket borde kunna skrivas om uttryckt i enbart höjden då radien är 3/4 av höjden
$V\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{\pi {{\displaystyle \left(\frac{3}{4}h\right)}}^{2}h}{3}$

Är jag helt fel ute?

Det ser korrekt ut. Du har alltså att

$V\left(h\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{3\pi h^3}{16}$

Alltså är

$0.1 =\hspace{0.17em}\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}·\frac{dh}{dt}=\frac{9\pi h^2}{16}·\frac{dh}{dt}$

Nu kan du lösa ut dh/dt.

Det ser vettigt ut, men kan förenklas. Gör det!

$$\begin{gathered} V=\frac{{\displaystyle \frac{9{\mathrm{\pi h}}^3}{16}}}{3}\iff V\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{3{\mathrm{\pi h}}^3}{16} \\ V\left(t\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{3{\mathrm{\pi h}}^3}{16} \\ V\text{'}\left(t\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{9\mathrm{\pi h}{\left(t\right)}^2*\mathrm{h}\text{'}\left(t\right)}{16} \\ 0.1 =\frac{{\displaystyle 9\mathrm{\pi h}{\left(t\right)}^2*\mathrm{h}\text{'}\left(t\right)}}{{\displaystyle 16}} \\ 1.6=9\mathrm{\pi }*4^2*\mathrm{h}\text{'}\left(\mathrm{t}\right) \\ \mathrm{h}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1.6}{16*9\mathrm{\pi }} \\ \frac{0.1}{9\mathrm{\pi }}=\hspace{0.17em}\mathrm{h}\text{'}\left(\mathrm{t}\right) \\ \frac{1}{90\mathrm{\pi }}=\mathrm{h}\text{'}\left(\mathrm{t}\right) \end{gathered}$$

Så många svar innan jag hann skriva klart. Ser det rätt ut?

Ja det ser korrekt ut.

En annan fråga, varför blir parenteserna så enormt stora?

Vet ej, men jag tror inte att du kan göra något annorlunda för att de ska bli mindre.

Jag provade att trycka på knappen i ekvationseditorn istället för att skriva ut (), då blev de mindre.

Tack för hjälpen hur som! :)