Implicit derivering i flervariabelanalys

Frågan lyder:

Beräkna första ordningens partiella derivator av den implicita funktionen z(x, y) som definieras av:

$y^{2} + e^{2 x z} = \sin^{- 1} \frac{y}{z}$

Beräkna deras värden i punkten (t, 1) där talet t bestäms ur ekvationen som definierar den implicita funktionen z(x, y) med y = 1, z = 1.

Ok så jag tror att jag har löst den, bara att jag inte fattar varför man behöver räkna ut vad t blir. Det jag menar är att antingen är det en kuggfråga med ett onödigt moment i eller så har jag gjort fel. Såhär har jag gjort:

Den implicita funktion z:s partiella derivator:

$F (x, y, z (x, y)) = y^{2} + e^{2 x z} - \sin^{- 1} \frac{y}{z} = 0 F_{x} + F_{z} z_{x} = 0 z_{x} = - \frac{F_{x}}{F_{z}} P å s a m m a s ä t t : z_{y} = - \frac{F_{y}}{F_{z}}$

Vilket jag får att bli:

$z_{x} = - \frac{2 z e^{2 x z}}{2 x e^{2 x z} + \frac{y}{z^{2} \sqrt{1 - {(\frac{y}{z})}^{2}}}} z_{y} = - \frac{2 y - \frac{1}{z \sqrt{1 - {(\frac{y}{z})}^{2}}}}{2 x e^{2 x z} + \frac{y}{z^{2} \sqrt{1 - {(\frac{y}{z})}^{2}}}}$

Redan här ser man att y=1, z=1 leder till nolldivision, varför jag menar att beräkning av något t är onödigt.

Jag får i alla fall t till att bli $\frac{\ln (\frac{π}{2} - 1)}{2} = t$

genom att substituera in (y, z) = (1, 1) i första ekvationen. Är det något jag missar här?

Det blir ingen nolldivision eftersom man kan multiplicera in z utanför rotttecknet.

Nu ska du beräkna de partiella derivatorna i punkten (t,1) och där är även z = 1.

Så du ska bestämma de partiella derivatorna för (t,1,1) om jag har fattat rätt.

henrikus skrev:
Det blir ingen nolldivision eftersom man kan multiplicera in z utanför rotttecknet.

Nu ska du beräkna de partiella derivatorna i punkten (t,1) och där är även z = 1.

Så du ska bestämma de partiella derivatorna för (t,1,1) om jag har fattat rätt.

Men 1 * (1 – 1/1) = 0 eller hur menar du?

jag får inte ihop det.

Menar du att jag först ska substituera (x, y, z) = (t, 1, 1) och beräkna derivatan bara med avseende på t?

Nej du ska sätta in (t,1,1) i dina uttryck för $z_{x}, z_{y}$

Men jag ser ett problem med division med 0 så jag vet inte riktigt.

henrikus skrev:
Nej du ska sätta in (t,1,1) i dina uttryck för $z_{x}, z_{y}$

Men jag ser ett problem med division med 0 så jag vet inte riktigt.

Nu förvirrar du mig. Jag kanske var otydlig i min problemformulering. Det jag menade var precis just det att partialderivatorna inte är definierade i (t, 1, 1). Varför ska jag då beräkna t? Det var det som fick mig att tro att antingen har jag gjort fel eller så är det en kuggfråga.

Å andra sidan, med lite algebraisk finess:

$L å t \sqrt{1 - {(\frac{y}{z})}^{2}} = u f ö r a t t s p a r a p l a t s$

$z_{y} = - \frac{(2 y z u + 1) \frac{1}{z u}}{(2 x e^{2 x z} z u + \frac{y}{z}) \frac{1}{z u}}$

$z_{y} = - \frac{2 y z \sqrt{1 - {(\frac{y}{z})}^{2}} - 1}{2 x z e^{2 x z} \sqrt{1 - {(\frac{y}{z})}^{2}} + \frac{y}{z}}$

Så kanske? Den andra derivatan vet jag inte om det går att göra något med.

Jag är tyvärr också förvirrad. Men $z_{x}$ är väl definierad om man betraktar det som ett gränsvärde.

Och kanske $z_{y}$ också men då blir både partiella derivatorna 0 och det låter inte rätt.

henrikus skrev:
Jag är tyvärr också förvirrad. Men $z_{x}$ är väl definierad om man betraktar det som ett gränsvärde.

Och kanske $z_{y}$ också men då blir både partiella derivatorna 0 och det låter inte rätt.

Min förkortning ovan visar att derivatan map. y är 1 för alla t. Får se om nån annan förstår uppgiften bättre än vi då. Tack för hjälpen i vilket fall :)

Svara

Visa senaste svar