Increasing

Kalla värdet $f(3)$ för a. Vad händer då med $f(5)$? :)

 f(a)<f(b)

Japp! Varför gäller detta? :)

Helt rätt!

varför är jag tveksam i f(3)=<f(5) eftersom det betyder f(3)<f(5) or f(3)=f(5).

 I detta fall fyller en av de kraverna som står i definitionen

Som f(a)<f(b)

Både f(3) < f(5) och f(3) <= f(5) gäller.

Om det var det som var din fråga.

(Jag blev vilseledd ett ögonblick av ordet "at", för det brukar användas om punkter. För intervall säger man hellre "in".)

I frågan om f'(x)>0 (2,8) det finns 2 alternativ att välja

a)f(3)<f(5)

b) f(3)=<f(5)

jag tror att b också rätt eftersom f(3)<f(5) eller f(3)=f(5) och det fyller kraven av definitionen

men jag läser definitionen många gånger det står f(x₁)<f(x₂) och saknas =

Vad är det du undrar över? I uppgiften står inget om stigande, men sedan visade du en bild på definitionen av increasing. Undrar du om uppgiften eller om definitionen?

Båda alternativen är korrekta, men alternativ a) (strikt olikhet) är ett striktare påstående, och det är ändå sant. Om uppgiften ber dig att ange endast ett svar, skulle jag säga a). Om du får ange flera svar, ta båda, eftersom båda är korrekta. 

Om vi har två x-värden, a och b, där a är mindre än b, samt att vi vet att $f'(x)>0,\;x\in(a,b)$, vet vi att $f(a)<f(b)$, eftersom a och b är olika, a är mindre än b, och derivatan är större än noll i hela intervallet. Om vi endast vet att $f(a)\leq f(b)$ vet vi endast att $f(a)\leq f(b)$.

Det gäller alltid att om $x<y$ kan vi också säga att $x\leq y$. :)