11 svar
127 visningar
I am Me 711
Postad: 22 jan 19:27

Index notation

Hej, någon som kan förklara varför där jag markerade blir noll?

 

Calle_K 2276
Postad: 22 jan 19:41

Rot(grad(A))=0 för alla skalärfält A. Detta eftersom att grad(A) är ett konservativt fält (med potential A) och rotationen av alla konservativa fält är 0. Tänk på en linjeintegral i ett konservativt fält. Alla kurvor från a till b kan ersättas med den raka sträckan från a till b.

Denna källa visar lite mer matematiskt varför det gäller.

I am Me 711
Postad: 22 jan 19:57

Så där det står ψbetyder det att ψär

en skalär potential??


Tillägg: 22 jan 2024 20:22

Såg att i fråga de står att ψ är en skalär fält vilket jag trodde att det är bara en konstant. Men här de menar att ψ är en skalär funktion ellehur?

I am Me 711
Postad: 22 jan 20:03 Redigerad: 22 jan 20:14

Kan man säga att ett vekforfält kallas konservativ fält om det bildas/ härleds från gradienten av en skalärfunktion ex B= gradψ      ?

 

Men vad är då vektor potential? Alltså jag märker man använder ordet vektor potential och sklär potential. Man säger t.ex om ∇XA =0 då har A skalär potenatial dvs A=∇Q   och man vet även att A är konservativt. 

Men om vektfältet A härleds av rotationen av en annan vektorfält dvs om A= ∇XB   då är B vektorpotential till A samt ∇. A=0 

 

 

D4NIEL Online 2877
Postad: 22 jan 20:08

Ja, om fältet kan skrivas som gradienten av ett skalär existerar en potential och fältet är konservativt.

Ett annat sätt att komma ihåg det är minnesregeln "×=0\nabla \times \nabla = 0", vilket betyder att om man betraktar nablaoperatorn som en vektor så är kryssprodukten av en vektor med sig själv noll.

Med tanke på trådrubriken undrar jag dock om din första tanke var härleda det i indexnotation?

I am Me 711
Postad: 22 jan 20:17

Aa exakt, man ska använda sig av index notation för att bestämma konstanten k och ψ

D4NIEL Online 2877
Postad: 23 jan 00:36 Redigerad: 23 jan 01:05

Några ledtrådar på vägen; man kan använda sig av att kryssprodukten mellan två vektorer kan uttryckas med hjälp av Levi-Civita-tensorn εijk\varepsilon_{ijk} så här

r×Bi=εijkxjBk\left(\mathbf{r}\times \mathbf{B}\right)_i=\varepsilon_{ijk}x_jB_k

Det finns ett väldigt nyttigt samband som kanske dyker upp under räkningarna i någon variant:

εumiεjki=δujδmk-δukδmj\varepsilon_{umi}\varepsilon_{jki}=\delta_{uj}\delta_{mk}-\delta_{uk}\delta_{mj}

Annat att ha i tankarna: xjxk=δjk\frac{\partial x_j}{\partial x_k}=\delta_{jk}, samt δjj=3\delta_{jj}=3

I am Me 711
Postad: 23 jan 23:04

Tack!

D4NIEL Online 2877
Postad: 24 jan 10:40 Redigerad: 24 jan 11:17

Jag kanske ska påpeka att din första fråga, dvs varför ×(f)0\nabla \times(\nabla f)\equiv 0 också går att förklara i indexnotation.

Det bygger på symmetrin hos andraderivator vilket man brukar visa i den första kursen i flervariabelanalys. Det spelar ingen roll om man först deriverar en skalär funktion f(x,y)f(x,y) med avseende på x och sedan på y eller tvärtom:

2fxy =2fyx \displaystyle \frac{\partial^2f }{\partial x \partial y  }=\frac{\partial^2f }{\partial y \partial x  }

Med indexnotation kan fältet ×F=×(f)\nabla \times \mathbf{F}=\nabla \times (\nabla f) uttryckas som

×Fk=εijkFjxi=εijk2fxixj\left(\nabla \times \mathbf{F}\right)_k=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial F_j}{\partial x_i}=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}

Nu kan vi utnyttja att εijk=-εjik\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik} och skriva om det som en summa samt utnyttja att andraderivatan av en skalär är symmetrisk

εijk2fxixj=12εijk2fxixj-εjik2fxixj=εijk122fxixj-2fxjxi0\varepsilon_{ijk}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{ijk}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}-\varepsilon_{jik}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\right)=\varepsilon_{ijk}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}-\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}\right)\equiv0

Man kan på liknande sätt visa att detta gäller för alla symmetriska tensorer, dvs om du kontraherar en antisymemtrisk tensor, t.ex. εijk\varepsilon_{ijk} med en symmetrisk tensor blir slutresultatet alltid 0.

I am Me 711
Postad: 25 jan 20:22
D4NIEL skrev:

Jag kanske ska påpeka att din första fråga, dvs varför ×(f)0\nabla \times(\nabla f)\equiv 0 också går att förklara i indexnotation.

Det bygger på symmetrin hos andraderivator vilket man brukar visa i den första kursen i flervariabelanalys. Det spelar ingen roll om man först deriverar en skalär funktion f(x,y)f(x,y) med avseende på x och sedan på y eller tvärtom:

2fxy =2fyx \displaystyle \frac{\partial^2f }{\partial x \partial y  }=\frac{\partial^2f }{\partial y \partial x  }

Med indexnotation kan fältet ×F=×(f)\nabla \times \mathbf{F}=\nabla \times (\nabla f) uttryckas som

×Fk=εijkFjxi=εijk2fxixj\left(\nabla \times \mathbf{F}\right)_k=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial F_j}{\partial x_i}=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}

Nu kan vi utnyttja att εijk=-εjik\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik} och skriva om det som en summa samt utnyttja att andraderivatan av en skalär är symmetrisk

εijk2fxixj=12εijk2fxixj-εjik2fxixj=εijk122fxixj-2fxjxi0\varepsilon_{ijk}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{ijk}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}-\varepsilon_{jik}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\right)=\varepsilon_{ijk}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}-\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}\right)\equiv0

Man kan på liknande sätt visa att detta gäller för alla symmetriska tensorer, dvs om du kontraherar en antisymemtrisk tensor, t.ex. εijk\varepsilon_{ijk} med en symmetrisk tensor blir slutresultatet alltid 0.

((×F)k=εijkFjxi=εijk2fxixjhur fick du det här?

I am Me 711
Postad: 25 jan 20:26 Redigerad: 25 jan 20:29

Läste i en bok att     "

∇ × (∇𝜙) ≡ 𝟎
för varje skalärfält 𝜙 (”ett potentialfält är alltid virvelfritt”)"

Menar de om  𝜙 är skalärfält då är dess potentialfält  dvs ∇𝜙 virvelfrit? S

Calle_K 2276
Postad: 25 jan 22:35
I am Me skrev:
D4NIEL skrev:

Jag kanske ska påpeka att din första fråga, dvs varför ×(f)0\nabla \times(\nabla f)\equiv 0 också går att förklara i indexnotation.

Det bygger på symmetrin hos andraderivator vilket man brukar visa i den första kursen i flervariabelanalys. Det spelar ingen roll om man först deriverar en skalär funktion f(x,y)f(x,y) med avseende på x och sedan på y eller tvärtom:

2fxy =2fyx \displaystyle \frac{\partial^2f }{\partial x \partial y  }=\frac{\partial^2f }{\partial y \partial x  }

Med indexnotation kan fältet ×F=×(f)\nabla \times \mathbf{F}=\nabla \times (\nabla f) uttryckas som

×Fk=εijkFjxi=εijk2fxixj\left(\nabla \times \mathbf{F}\right)_k=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial F_j}{\partial x_i}=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}

Nu kan vi utnyttja att εijk=-εjik\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik} och skriva om det som en summa samt utnyttja att andraderivatan av en skalär är symmetrisk

εijk2fxixj=12εijk2fxixj-εjik2fxixj=εijk122fxixj-2fxjxi0\varepsilon_{ijk}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{ijk}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}-\varepsilon_{jik}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\right)=\varepsilon_{ijk}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}-\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}\right)\equiv0

Man kan på liknande sätt visa att detta gäller för alla symmetriska tensorer, dvs om du kontraherar en antisymemtrisk tensor, t.ex. εijk\varepsilon_{ijk} med en symmetrisk tensor blir slutresultatet alltid 0.

((×F)k=εijkFjxi=εijk2fxixjhur fick du det här?

Han definierade F som F=f, eftersom det är Fj vi tittar på blir det fxj.

Menar de om  𝜙 är skalärfält då är dess potentialfält  dvs ∇𝜙 virvelfrit?

Stämmer, ett fält F är virvelfritt just om rot(F)=0

Svara
Close