induktion

visa att $\sum_{r = 0}^{n} r (3 r + 1) = n (n + 1)^{2}$

testar då n = 1

$V L : 1 (3 + 1) = 4$

$H L : 1 (1 + 1)^{2} = 4$

så de stämmer

antar att de funkar då n = k

$s_{k =} \sum_{r = 0}^{n} r (3 r + 1) = k (k + 1)^{2}$

nu när jag ska visa att de stämmer för n = k +1 blir de lite trubbel.

$s_{k + 1} = n (n + 1)^{2} = (k + 1) (k + 2)^{2}$

detta kan vi skriva om till

$k (k + 1)^{2} + 3 k^{2} + 7 k + 4$

$s_{k + 1} = s_{k} + 3 k^{2} + 7 k + 4$

samt

$\sum_{r = 0}^{n} (k + 1) (3 (k + 1) + 1)$

$\sum_{r = 0}^{n} 3 k^{2} + 7 k + 4 = s_{k} + 3 k^{2} + 7 k + 4$

Är detta korrekt? eller måste jag förtydliga något eller ändra något för att kunna säga vsv ?

Det är ju rätt, även om jag tycker att det är svårt att följa steget där du bryter ut $3 k^{2} + 7 k + 4$ -- kanske är det ännu tydligare om man formulerar (som andra steg, efter att du visat att sambandet är sant för något värde) $V L_{k + 1} - V L_{k}$ och $H L_{k - 1} - H L_{k}$ och visar att dessa är lika. Kärnan i det du vill visa är just att $V L_{k + 1} - V L_{k =} H L_{k + 1} - H L_{k}$ .

En lite löjlig detalj är ju att du missar att visa att det är sant för n = 0; din induktion skulle kunna börja där.

PeBo skrev :
Det är ju rätt, även om jag tycker att det är svårt att följa steget där du bryter ut $3 k^{2} + 7 k + 4$ -- kanske är det ännu tydligare om man formulerar (som andra steg, efter att du visat att sambandet är sant för något värde) $V L_{k + 1} - V L_{k}$ och $H L_{k - 1} - H L_{k}$ och visar att dessa är lika. Kärnan i det du vill visa är just att $V L_{k + 1} - V L_{k =} H L_{k + 1} - H L_{k}$ .
En lite löjlig detalj är ju att du missar att visa att det är sant för n = 0; din induktion skulle kunna börja där.

Trodde att de inte spelade någon roll om man visar n = 0 eller n = 1. Tog 1 för att de va lite tråkigt med 0 :o

Hej!

Du vill visa att för varje heltal $n>0$ gäller det att

$s_{n} = n(n+1)^2\ ,$

där talföljden $s_{n}$ definieras som

$s_{n} = \sum_{i=0}^{n}i(3i+1)\ .$

Steg 1: Visa att sambandet gäller för $n=1.$ Eftersom $s_{1} = 4$ och $1\cdot 2^2 = 4$ så är sambandet sant.

Steg 2: Anta att sambandet gäller för ett visst positivt heltal $n\ .$ Från Steg 1 vet du att det finns åtminstone ett sådant positivt heltal (nämligen $n=1$ ).

Steg 3: Visa att sambandet är sant för nästa positiva heltal, $n+1\ .$ Definitionen av talföljden $s_{n}$ ger att du kan skriva

$s_{n+1} = s_{n} + (n+1)\cdot(3(n+1)+1) = s_{n}+3(n+1)^{2}+(n+1) = n(n+1)^2+3(n+1)^2+(n+1) = (n+1)\cdot (4+4n+n^2) = (n+1)\cdot(n+2)^2\ .$

Detta visar att sambandet är sant för nästa positiva heltal.

Steg 4: Enligt Induktionsaxiomet är sambandet sant för varje positivt heltal $n>0\ .$

Albiki

Svara Avbryt

Visa senaste svar