Induktion

Hej! Har en fråga om hur induktionsantagandet måste på något sätt vävas in i induktionessteget. Om jag till exempel har ett antagande som är (p+1)^2 >= 1 + p^2, har jag då vävt in induktionssteget om jag sedan skriver (p + 1 + 1)^2 >= 1 + (p+1)^2? Jag har då använt termerna i antagandet fast ändrat p, eller räknas det inte som att antagandet har använts då jag inte har någon term som är (p+1)^2 eller 1 + p^2?

Vid till exempel antagandet att 3+9+15+...+n(6n-3) = 3n^2 och induktionssteget 3n^2 + (n+1)(6n+3) = 3(n+1)^2 antar jag att induktionsantagandet har använts då VL egentligen skulle ha skrivits som 3+9+15+...+n(6n-3) + (n+1)(6n+3) fast att man gjort om första delen till 3n^2, vilket stämmer överens med antagandet?

Vi vill visa

(p+1)^2 >= 1 + p^2

p=1: 2^2 ≥ 1+1 SANT

Antag nu att

(p+1)^2 >= 1 + p^2

är sant för p=n, d.v.s.

SANT: (n+1)^2 >= 1 + n^2

För p=n+1 har vi

(p+1)^2 = (n+1 + 1)^2 = (n+1)^2 + 2(n+1)*1 + 1^2 = (n+1)^2 + 2(n+1) + 1

Först nu använder vi "sanningen för p=n" och får

(p+1)^2 = (n+1)^2 + 2(n+1) + 1 ≥ 1 + n^2 + 2(n+1) + 1

Att HL sedan är ≥ 1+(n+1)^2 är en annan operation som kan visas på olika sätt.

Jag skulle utvecklat HL

1 + n^2 + 2(n+1) + 1 = n^2+2n+4

och jämfört med "det önskade"

1+(n+1)^2 = n^2+2n+2

Då ser man direkt att

n^2+2n+4 ≥ n^2+2n+2

Och vi är klara, enl. induktionsaxiomet.

Svara