Induktion

 Vart vill du ersätta $7^k-1$ med $6m$? Om det är ditt antagande är det ok.

på sista raden längst till höger så att det står 7 x 6m

Problemet är att det inte riktigt står $7^k-1$ där. Du har kommit fram till ${\color{magenta}7\cdot 7^k}-1$. Det är bara $7^k$ som är multiplicerad med $7$, ettan står för sig.

Tänk på att det är skillnad mellan $7\cdot 7^k-1$ och $7 \cdot (7^k-1)$. Det senare verkar vara det du tänker på.