Induktion: Bevisa deriveringsregeln

Axiom skrev:

Bevisa deriveringsregeln $D{x}^n=n{x}^{n-1}$med Induktion

1: VL= Dx=1 HL=1x^0=1

2: n=k

$D{x}^k=k{x}^{k-1}$

3: n=k+1 

Jag antar att högerledet här ska bli : (k+1)x^1

Men hur ska man tänka nu när det är derivata och inte en vanlig summaekvation?

Du tänker helt som vanligt. 

Ska jag bara sätta in kx^k-1+ Dx^(k+1) ?

Visa spoiler

n=k+1

$D{x}^{k+1}=D(x^k*x)=x^k*Dx+\left(D{x}^k\right)*x=x^k+k{x}^{k-1}*x=x^k+k{x}^k=(k+1)x^k$

Om det är din uträkning inom spoilern är det helt korrekt. 
Om vi benämner utsagan som u, ser vi att u(k+1) = (k+1)x^(k+1)-1 = (k+1)x^k , vilket var precis det du visade.

mrpotatohead skrev:

Axiom skrev:

Bevisa deriveringsregeln $D{x}^n=n{x}^{n-1}$med Induktion

1: VL= Dx=1 HL=1x^0=1

2: n=k

$D{x}^k=k{x}^{k-1}$

3: n=k+1 

Jag antar att högerledet här ska bli : (k+1)x^1

Men hur ska man tänka nu när det är derivata och inte en vanlig summaekvation?

Du tänker helt som vanligt. 

Ska jag bara sätta in kx^k-1+ Dx^(k+1) ?

Visa spoiler

n=k+1

$D{x}^{k+1}=D(x^k*x)=x^k*Dx+\left(D{x}^k\right)*x=x^k+k{x}^{k-1}*x=x^k+k{x}^k=(k+1)x^k$

Om det är din uträkning inom spoilern är det helt korrekt. 
Om vi benämner utsagan som u, ser vi att u(k+1) = (k+1)x^(k+1)-1 = (k+1)x^k , vilket var precis det du visade.

Det är det inom spoilern jag försöker förstå, det var det som stog i facit

Aha, misstänkte det hehe

Det dom gör är att skriva ut u(k+1) enligt VL (Dxⁿ) och sedan använda induktionsantagandet:

u(k)=Dx^k = k*x^(k-1)

(det du visade i steg 2)

så dom tar

u(k+1) = Dx^k+1 = [Potenslag a^b+c = a^b*a^c ] =  D(x^k*x¹) = [Produktregeln för deriveringar] = Dx^k * x + x^k * Dx = [Här har vi vårt antagande Dx^k som vi byter ut mot k*x^(k-1)] = k*x^(k-1)* x + x^k * 1 = k * x^(k-1+1) + x^k = (k+1)x^k

Hänger du med?

mrpotatohead skrev:

Aha, misstänkte det hehe

Det dom gör är att skriva ut u(k+1) enligt VL (Dxⁿ) och sedan använda induktionsantagandet:

u(k)=Dx^k = k*x^(k-1)

(det du visade i steg 2)

så dom tar

u(k+1) = Dx^k+1 = [Potenslag a^b+c = a^b*a^c ] =  D(x^k*x¹) = [Produktregeln för deriveringar] = Dx^k * x + x^k * Dx = [Här har vi vårt antagande Dx^k som vi byter ut mot k*x^(k-1)] = k*x^(k-1)* x + x^k * 1 = k * x^(k-1+1) + x^k = (k+1)x^k

Hänger du med?

1. Varför tar de bara VL och ej adderar ihop dem ? (första steget)

2. Vad gör de på tredje steget? Vilken produktregel för deriveringar? Är det f(x)*g(x) blir f´(x)g(x)+f(x)*g´(x) ?

Aha jag förstår, de deriverar faktiskt "funktionerna" och använder kedjeregeln på vägen!

Axiom skrev:

Aha jag förstår, de deriverar faktiskt "funktionerna" och använder kedjeregeln på vägen!

Var menar du att dom tar kedjeregeln hehe?

mrpotatohead skrev:

Axiom skrev:

Aha jag förstår, de deriverar faktiskt "funktionerna" och använder kedjeregeln på vägen!

Var menar du att dom tar kedjeregeln hehe?

De använde kedjeregeln f(x)*g(x) --< f´(x)g(x)+f(x)*g´(x) för att faktiskt derivera vänsterledet

Axiom skrev:

mrpotatohead skrev:

Visa föregående citat

Axiom skrev:

Aha jag förstår, de deriverar faktiskt "funktionerna" och använder kedjeregeln på vägen!

Var menar du att dom tar kedjeregeln hehe?

De använde kedjeregeln f(x)*g(x) --< f´(x)g(x)+f(x)*g´(x) för att faktiskt derivera vänsterledet

Det där är produktregeln!

Kedjeregeln är när man deriverar en sammansatt funktion ex D[f(g(x))]

Läs här annars: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/derivata/derivatan-av-en-produkt#!/ 

mrpotatohead skrev:

Axiom skrev:

Visa föregående citat

mrpotatohead skrev:

Axiom skrev:

Aha jag förstår, de deriverar faktiskt "funktionerna" och använder kedjeregeln på vägen!

Var menar du att dom tar kedjeregeln hehe?

De använde kedjeregeln f(x)*g(x) --< f´(x)g(x)+f(x)*g´(x) för att faktiskt derivera vänsterledet

Det där är produktregeln!

Kedjeregeln är när man deriverar en sammansatt funktion ex D[f(g(x))]

Läs här annars: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/derivata/derivatan-av-en-produkt#!/ 

oops fel namn men den jag menade var produktregeln, det viktiga är ändå inte namnet

Nej, det är sant. Men det är ändå viktigt så att du inte blandar ihop dem!

mrpotatohead skrev:

Nej, det är sant. Men det är ändå viktigt så att du inte blandar ihop dem!

Yes! Jag ska försöka att nt göra det igen