8 svar
47 visningar
Elias Sk är nöjd med hjälpen
Elias Sk 55
Postad: 26 jan 16:09 Redigerad: 26 jan 18:53

Induktion med olikhet

Hej, jag förstår mig på induktion allt bättre men tycker att det är rätt svårt att utföra induktionssteget när uppgiften är om en olikhet och ej om en sekvens summa.
Detta är frågan samt hur jag började lösa den, men vet inte hur jag ska komma vidare. Kan någon hjälpa mig med detta?

EDIT1: Svaret kvarstår, men ser nu att jag missade fakuliteten på (1+1) i basfallet. 
EDIT2: Bild på den lösta uppgiften efter hjälp i chatten. Har jag gjort rätt?
            Svaret ska ...<... och inte ...=... såklart

Bedinsis 2503
Postad: 26 jan 16:43 Redigerad: 26 jan 16:56

På samma sätt som du skrev om VLp+1 på en form som var VLp + [lite till], försök skriva om HLp+1 på en form som är HLp + [lite till].

Kan du bevisa att [lite till]-termen i högerledet är större än i vänsterledet så har du bevisat det.

EDIT: Alternativt kan du uttryckligen ta ditt sista uttryck ovan och ersätta HLp med det som HLp är, och se om det tillsammans med (p+1)(p+1)(p+1)! blir mindre än HLp+1.

Elias Sk 55
Postad: 26 jan 16:58 Redigerad: 26 jan 17:02
Bedinsis skrev:

...HLp + [lite till]...

Blir det inte då att [lite till]-termen kommer att vara samma för VLp som för HLp, då HL alltid är summan av VL. Eller förstår du vad jag menar?

VLp+1>HLp+1  VLp+[lite till]>HLp+[lite till]

där lite till kommer att vara samma tal
EDIT: Det jag skrivit nu blir ju en likhet, inte en olikhet inser jag nu...

Bedinsis 2503
Postad: 26 jan 17:02 Redigerad: 26 jan 17:02

[lite till]-termen måste definitivt inte vara identisk i de två leden. Så länge vi kan bevisa att a<b och att c<d så måste a+c<b+d.

Det är också högst inkorrekt matematiskt språkbruk, som jag får be om ursäkt för att jag introducerade.

Elias Sk 55
Postad: 26 jan 17:18 Redigerad: 26 jan 17:30
Bedinsis skrev:

EDIT: Alternativt kan du uttryckligen ta ditt sista uttryck ovan och ersätta HLp med det som HLp är, och se om det tillsammans med (p+1)(p+1)(p+1)! blir mindre än HLp+1.

Jaja så att jag vet att

HLp+(p+1)2×(p+2)!<HLp+1
så vet vi att induktionsantagandet stämmer

VLp+(p+1)2×(p+1)! <ind.ant.HLp+(p+1)2×(p+2)!

då HL alltid kommer att vara en större del än VL. Är det så du menade?
Hela ledet skulle alltså bli följande:
VLp+1 = VLp+(p+1)2×(p+1)! <ind.ant.HLp+(p+1)2×(p+2)! = p(p+1)!+(p+1)2×(p+2)!<(p+1)×(p+2)! = HLp+1
Haha och fattar att det inte är så matematiskt, håller mig undan från det på tentor :P

Bedinsis 2503
Postad: 26 jan 17:27 Redigerad: 26 jan 17:31

Nej, det var inte så jag menade. Det jag menade var:

HLp+p+12p+1!=pp+1!+p+12p+1!=p+p+12p+1!

Och sedan se om (p+(p+1)2) på något sätt kan bevisas ge ett värde mindre än (p+1)(p+2), dvs. det man multiplicerar (p+1)! med för att få HLp+1. Jag vet dock inte om detta funkar.

Jag tror du tappade bort en (p+1)!-faktor där ovan... och nu ser jag att du redigerar på ett sätt att jag tappar bort mig. Får återkomma.

Elias Sk 55
Postad: 26 jan 17:56 Redigerad: 26 jan 18:23

Jag tog hjälp av din ansats har ev löst det. Om du orkar får du gärna ta en titt på lösningen! 
VLp+1 = VLp+(p+1)2×(p+1)! <ind.ant HLp+(p+1)2×(p+1)! == p(p+1)!+(p+1)2×(p+1)! = p+(p+1)2×(p+1)! == (p2+3p+1)×(p+1)! < (p2+3p+2)×(p+1)! ==(p+1)×(p+2)×(p+1)! = (p+1)×(p+2)! = HLp+1 VLp+1<HLp+1

EDIT: Nu är ekvationen klar

Bedinsis 2503
Postad: 26 jan 20:57

Tjusigt. Jag skulle säga att det där är ett fullgott bevis, bra jobbat.

Elias Sk 55
Postad: 26 jan 23:21

Oki great. Tack för hjälpen! :D

Svara Avbryt
Close