Induktion med olikhet

"Visa att $3^n\ge n^3$ gäller för alla $n\ge 1$". Efter att ha antagit att det gäller för något tal p måste jag alltså visa att $3^{p+1}\ge (p+1{)}^3$. Detta kan ju skrivas om till $3·3^p\ge (p+1{)}^3$ och enligt induktionsantagandet ($3^p\ge p^3$) räcker det alltså att visa att $3p^3\ge (p+1{)}^3$. Härifrån kommer jag dock ingen vart. Hur ska kunna bevisa det? Om jag löser ut p får jag att olikheten gäller då $p\ge 2,26$ (ungefär). Alltså gäller den för alla heltal $\ge 3$. Räcker det då att bevisa för $n=2$ (basfallet $n=1$ bevisat i första steget) "manuellt"?