Induktion med summa och binomialkoefficienter

Uppgiften lyder:

Visa att påståendet$\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) {(-1)}^k=0$, $n\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$, gäller

Jag tänker mig att man använder sig av induktion. 

1. Visa att påståendet gäller för basfallet, n = 1

$$\begin{gathered} V{L}_1=\sum _{k=0}^1\left(\begin{array}{c}1\\ k\end{array}\right){\left(-1\right)}^k=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right){\left(-1\right)}^0+\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right){\left(-1\right)}^1 \\ \Rightarrow 1·1+1·(-1) = 1-1 = 0 \\ H{L}_1=0 \\ V{L}_1=H{L}_1 \end{gathered}$$

Påståendet stämmer för basfallet vilket innebär att man kan göra ett induktionsantagande:

2. Induktionsantagande: Antag att påståendet gäller för n = p, $p\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$, dvs

$\sum _{k=0}^p\left(\begin{array}{c}p\\ k\end{array}\right){\left(-1\right)}^k=0$

3. Induktionssteg: Visa att påståendet är sant för n = p+1, $p\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$, mha induktionsantagande 2.

$V{L}_{p+1}=\sum _{k=0}^{p+1}\left(\begin{array}{c}p+1\\ k\end{array}\right){\left(-1\right)}^k$

Här fastnar jag, vet inte riktigt hur jag ska få in induktionsantagandet och bevisa att påståendet stämmer. Detta lösningssätt kanske även är felaktigt för denna typ av uppgift, tacksam för all hjälp!