Induktions bevis

Utnyttja induktionsantagandet  2^k>=k² , utveckla parentesen och förenkla.

Ska jag byta plats på 2^k med k^2 fast nej då blir inte vänster led större än höger leder om jag utvecklar parantesen på höger led.

hur menar du?

Antagelsen är att ${\color{magenta}2^k >k^2}$. Målet är att bevisa att $2^{k+1} > (k+1)^2$.

Notera att $2^{k+1} = 2 \cdot {\color{magenta}2^k}$.

Här kan du använda induktionsantagandet för att bygga en olikhet.

Förlåt jag förstår inte exakt  hur jag ska göra nästa steg

2^k+1-(k+1)²=2•2^k-(k+1)²>2•k²-(k+1)²=2k²-k²-2k-1=k²-2k-1=k²-2k+1-2=(k+1)²-2>0 för k>=5

Jag kan inte tyda vad du skriver, kan du förklara det du har skrivit ?

Första uttrycket är ett som vi vill ska vara > 0, för då har vi bevisat induktionssteget (vi använder k+1). Resten är omskrivningar som leder till att vi ser att det är > 0, med hjälp av induktionsantagandet (alltså för k).