Induktions bevis

Utnyttja induktionsantagandet  2^k>=k² , utveckla parentesen och förenkla.

Ska jag byta plats på 2^k med k^2 fast nej då blir inte vänster led större än höger leder om jag utvecklar parantesen på höger led.

hur menar du?

Antagelsen är att ${\color{magenta}2^k >k^2}$. Målet är att bevisa att $2^{k+1} > (k+1)^2$.

Notera att $2^{k+1} = 2 \cdot {\color{magenta}2^k}$.

Här kan du använda induktionsantagandet för att bygga en olikhet.

Förlåt jag förstår inte exakt  hur jag ska göra nästa steg

2^k+1-(k+1)²=2•2^k-(k+1)²>2•k²-(k+1)²=2k²-k²-2k-1=k²-2k-1=k²-2k+1-2=(k+1)²-2>0 för k>=5

Jag kan inte tyda vad du skriver, kan du förklara det du har skrivit ?

Första uttrycket är ett som vi vill ska vara > 0, för då har vi bevisat induktionssteget (vi använder k+1). Resten är omskrivningar som leder till att vi ser att det är > 0, med hjälp av induktionsantagandet (alltså för k).

Förlåt jag har väldigt svårt att förstå!

menar ni något sånt här?

Vi vet att 2^p > p² (jag kallar denna olikhet A) och vi vill visa att 2^p+1 > (p+1)².

Med andra ord vill vi visa att 2^p+1 - (p+1)² > 0.

2^p+1 kan vi skriva som 2*2^p och då kan vi använda A och får 2*2^p > 2p², alltså 2^p+1 > 2p².

Därmed är 2^p+1 - (p+1)² > 2p² - (p+1)².

Högerledet kan vi förenkla till 2p² - p² - 2p - 1 = p² - 2p -1.

Om vi kvadratkompletterar detta får vi (p-1)² - 2. Man ser att detta växer när p växer, och är > 0 när p >= 5.

(Det är större än 0 redan för p > 2, men basfallet gäller först för p = 5.)

2^p+1 - (p+1)² är alltså större än något som är större än 0, och alltså > 0 självt.