5 svar
150 visningar
Zaphod 19
Postad: 21 maj 2017

Induktionsbevis

Hej.

Jag försöker bevisa olikheten:

2n > n2 för n 5

Så här långt har jag kommit själv:

1. n = 5 ger 25 >52 =32 > 25  formeln/olikheten gäller alltså för n = 5

2. Jag antar att olikheten gäller för n = p där p 5    2p >p2   

    Påstående: olikheten gäller för n = p + 1

    2p+1 > (p + 1)2

   

    Bevis:

    VL: 2p+1 = 2 *2p > vad?    Här fastnar jag för jag vet inte hur man kan bevisa generellt att 2 * 2p är             större än HL

Yngve 12135 – Mattecentrum-volontär
Postad: 21 maj 2017 Redigerad: 21 maj 2017

Bra början.

Du vet ju att 2^p > p^2, vilket betyder att 2*2^p > 2*p^2. Kontrollera nu för vilka p det gäller att  2*p^2 är större än HL.

Albiki 4228
Postad: 21 maj 2017 Redigerad: 21 maj 2017

Hej!

Du behöver visa att

    $$p^2 \geq 2p + 1$$ om $$p\geq 5.$$

Då följer det att

    $$2^{p+1}\geq p^2 + p^2 \geq (p+1)^2.$$

Albiki

Zaphod 19
Postad: 21 maj 2017 Redigerad: 21 maj 2017

 

Så med antagandet att olikheten gäller för n = p är det okej att skriva:

p2+1 =2 *2p > 2 *p2 =p2 + p2           ?

 

Jag tror att det är steget som Albiki talar om, att jag ska visa att: 2p2  p2 + 2p + 1 =p2  2p + 1 som jag fastnade på.

"Intuitivt" så vet jag att olikheten gäller för alla heltal p > 2 men det är ju inget bevis. Jag vet också att differensen ökar med större p. p = 5 ger differensen 14, p = 6 ger differensen 23 etc.

Jag testade för skoj skull att derivera olikheten vilket ger: 2p  2 vilket visar att olikheten gäller för alla p som är större än det minsta p som ger att olikheten gäller. Så jag "vet" att det gäller men jag kan inte bevisa det.

Yngve 12135 – Mattecentrum-volontär
Postad: 21 maj 2017 Redigerad: 21 maj 2017

Ja.

Du vill visa att 2·2p >(p+1)2

Eftersom 2p > p2 enligt antagandet så gäller att 2·2p > 2·p2.

Om du nu kan visa att 2·p2 > (p + 1)2 för alla p  5 så är du klar.

D.v.s. du ska visa att p2 -2p -1 > 0 för alla p  5.

Eftersom derivatan 2p - 2 är positiv för alla p > 1 så är p2 - 2p - 1 växande för alla p > 1.

 

Var är då p2 -2p -1 = 0?

Jo, det är vid p > 1 ± 2

Det betyder att p2 -2p -1 > 0 för alla p > 1 + 2, vilket även betyder att p2 -2p -1 > 0 för alla p  5, vilket skulle visas.

Albiki 4228
Postad: 21 maj 2017

Hej!

En kvadratkomplettering visar att

    p2-2p-1=(p-1)2-2 p^2 -2p -1 = (p-1)^2 -2

och om p5 p\geq 5 så är

    (p-1)2-242-20. (p-1)^2-2\geq 4^2-2 \geq0.

Därför är p22p+1 p^2\geq 2p+1 om p5. p\geq 5.

Albiki

Svara Avbryt
Close