Induktionsbevis

Visa med induktion att $(a - b) (a^{n} - b^{n})$ gäller då a, b och n är positiva heltal.

Hittills har jag löst det på detta vis:

Induktionsantagande:

$(a - b) (a^{p} - b^{p})$ ⇔ a^p − b^p = (a − b)m

Induktionssteg:

a^p+1 − b^p+1 = (a − b)m

VL: a^p+1 − b^p+1 = a*a^p - b*b^p

Hur fortsätter jag härifrån?

Induktionsantagande: a^p-b^p = (a − b)m <=> a^p = (a − b)m + b^p (*)

= a^p+1 − b^p+1

= a a^p− b b^p

Sätt nu in (*) och se om det inte kan snyggas till.

aa^p-bb^p =aa^p -bb^p + ab^p - ab^p= a(a^p-b^p)- b^p(a-b) =a(a-b)*m -b^p(a-b)=(a-b)(a*m-b^p) där m är ett heltal, Vidare är den sista parentesen är ett heltal, varvid induktionssteget är klart.

Svara