Induktionsbevis

Använd ditt induktionsantagande här, så 2*2^p>=2*p^2

Utveckla sedan (p+1)^2 och visa att 2*p^2>=(p+1)^2 för de giltiga val av n.

Calle_K skrev:

Använd ditt induktionsantagande här, så 2*2^p>=2*p^2

Utveckla sedan (p+1)^2 och visa att 2*p^2>=(p+1)^2 för de giltiga val av n.

Tack för ditt svar!
Skulle du kunna förklara varför ska vi visa att HL i antagandet är större än eller lika med HL i steg 3, dvs att 2P^2 >= P^2+2P+1.

$2^{p+1}=2*2^p\ge \left(antagande\right)\ge 2*p^2=p^2+p^2\ge ...\ge p^2+2p+1={(p+1)}^2$

Om du lyckas motivera olikheten där det står ... kommer du ha visat att $2^{p+1}\ge {(p+1)}^2$

Calle_K skrev:

$2^{p+1}=2*2^p\ge \left(antagande\right)\ge 2*p^2=p^2+p^2\ge ...\ge p^2+2p+1={(p+1)}^2$

Om du lyckas motivera olikheten där det står ... kommer du ha visat att $2^{p+1}\ge {(p+1)}^2$

Kan vi ta det steg för steg?
Ska jag utgå från antagandet och skriva om 2*2^p eller 2^(p+1)?

Calle_K skrev:

$2^{p+1}=2*2^p\ge \left(antagande\right)\ge 2*p^2=p^2+p^2\ge ...\ge p^2+2p+1={(p+1)}^2$

Du vill visa att det som står längst till vänster är större än eller lika med det som står längst till höger, dvs att $2^{p+1}\ge {(p+1)}^2$. 

Här följer motivation för varje likhet/olikhet

1. Omskrivning mha potenslagar
2. Induktionsantagande
3. Omskrivning
4. Detta steg lämnar jag åt dig
5. Kvadratkomplettering

Om du förstår varje steg, och dessutom lyckas motivera steg 4, har du visat att det som står längst till vänster är större än eller lika med det som står längst till höger, vilket var precis det vi skulle visa.

Vi vill visa att 2p+1≥(p+1)^2. 
Skriver om VL i induktionssteget :

2^p+1=2*2^p≥ 2p^2=p^2+p^2.

Det är samma sak som att utgå från VL i induktionsantagandet, 2p+1≥2p^2=p^2+p^2.

Nu har vi kommit fram till att 2^p+1≥p^2+p^2.

Ska vi fortsätta skriva om p^2+p^2 till p^2+2p+1 ?