Induktionsbevis

Hej! Behöver hjälp med denna frågan 

Har skrivit denna lösningen, men känns alldelles för krånglig... 

$$\begin{gathered} Detta är vad som ska bevisas genom induktionsbevis:\hspace{0.17em} \\ För n = 1,2,3... gäller att \sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}(2n^3+3n^2+ n) \\ Det jag gjort är att:\hspace{0.17em} \\ 1. Checka så att basfallet gäller dvs. basfall (n=1) \\ Vänsterledet ger :\hspace{0.17em} \\ \sum _{K=1}^1{k}^2 = 1^2=1 \\ Högerledet:\hspace{0.17em} \\ \frac{1}{6}(2\times 1^3+3\times 1^2+1) =\hspace{0.17em}\frac{1}{6}(2+3+1) = \frac{6}{6}=1 \\ VL = HL \to basfallet stämmer! \\ 2. Ett induktionsantagande \\ - Antar att påsteåndet stämmer för n = m \\ \sum _{k=1}^m{k}^2= \frac{1}{6}(2m^2+3m^2+m) \\ 3. Induktionssteget:\hspace{0.17em} \\ Visar att det gäller för n = m + 1 \\ \sum _{k=1}^{m+1}{k}^2=\hspace{0.17em}\frac{1}{6} \left[\begin{array}{cc}2& {(m+1)}^3+ 3{(m+1)}^2+ (m+1)\end{array}\right] \\ VL: \\ \sum _{k=1}^{m+1}{k}^2 = \sum _{k=1}^m{k}^2+{(m+1)}^2 \\ Induktionsantagnadet används\hspace{0.17em}: \\ \frac{1}{6} (2m^3+3m^2+m) + {(m+1)}^2= \frac{1}{6}(2m^3+3m^2+m) 0 \frac{6{(m+1)}^2}{6} \\ =\frac{2m^3+3m^2+m + 6(m^2+2m+1)}{6} \\ =\frac{2m^3+3m^2+m + 6m^2+12m+6}{6} \\ = \frac{2m^3+9m^2+13m+6}{6} \\ HL för n = m+ 1: \\ \frac{1}{6} \left[\begin{array}{cc}2& {(m+1)}^3+ 3{(m+1)}^2+ (m+1)\end{array}\right] \\ {(m+1)}^3=m^3+ 3m^2+3m + 1 \\ 2{(m+1)}^3= 2m^3+6m^2+6m+2 \\ 3{(m+1)}^2 =3(m^2 +2m+1)=3m^2 +6m+3 \\ (m+1)=m+1 \\ 2m^3 +6m^3 +6m+2+3m^3 +6m+3+m+1 \\ = 2m^3 +9m^2 +13m+6 \\ HL :\hspace{0.17em} \\ \frac{2m^3 +9m^2 +13m+6}{6} \\ VL = HL \\ V.S.V \end{gathered}$$Har