Induktionsbevis

Det ska bevisas att 2ⁿ>n³ för alla n större eller lika med 10.

Jag skrev om induktionsantagandet till 2ⁿ-n³>0

och undersökte sedan för n=P+1:

$2^{P + 1} - {(P + 1)}^{3} = 2^{P + 1} - P^{3} - 3 P^{2} - 3 P - 1 = = 2^{P} - P^{3} + 2^{P} - 3 P^{2} - 3 P - 1 > 2^{P} - 3 P^{2} - 3 P - 1 = 2^{P} - P^{3} + P^{3} - 3 P^{2} - 3 P - 1 > P^{3} - 3 P^{2} - 3 P - 1 = {(P - 1)}^{3} - 6 P$
Det är bara det sista där som jag har problem med att bevisa att det blir större än noll för n lika med eller större än 10. Jag har försökt med logiskt resonemang men det blir liksom inte bra.

Du vet ju att $P$ är åtminstånde $10$ . Vi har att $(P-1)^3 = (P-1)\cdot (P-1)^2$ . Här kan vi göra hela detta uttryck mindre genom att sätta några av $P$ :na till $10$ , det minsta möjliga värdet. Alltså:

$(P-1)^3 = (P-1)\cdot (P-1)^2 \geq (P-1)\cdot (10-1)^2=99(P-1)$ .

Kan detta hjälpa dig komma i mål?

AlexMu skrev:
Du vet ju att $P$ är åtminstånde $10$ . Vi har att $(P-1)^3 = (P-1)\cdot (P-1)^2$ . Här kan vi göra hela detta uttryck mindre genom att sätta några av $P$ :na till $10$ , det minsta möjliga värdet. Alltså:

$(P-1)^3 = (P-1)\cdot (P-1)^2 \geq (P-1)\cdot (10-1)^2=99(P-1)$ .

Kan detta hjälpa dig komma i mål?

Jag vet inte riktigt. Hur kommer det sig att man kan byta ut bara en del av P:na? Känns som jag snarare räknat åt fel håll men det finns inte heller något facit till uppiften:/

Vi byter ut något av $P$ :na mot det minsta möjliga värdet det kan ha. Vi har någon produkt, vi gör någon faktor mindre, resultatet blir ett mindre tal.

Svara

Visa senaste svar