Induktionsbevis

Ja, i nästa steg antar du att påståendet gäller för n = p. Detta antagande använder du sedan för att bevisa n = p + 1. Sammantaget har du då bevisat att om påståendet gäller för n = p, gäller det också för n = p + 1. :)

Jag kommer fram hit, men vad är det jag ska göra sen?

Välkommen till pluggakuten!

basfallet har du fixat, så vi antar att likheten gäller till p, alltså $\sum _{k=1}^p\frac{1}{4k^2-1}=\frac{p}{2p+1}$nu vill vi vissa att detta gäller för p+1. $\sum _{k=1}^p\frac{1}{4k^2-1}+\frac{1}{4{(p+1)}^2-1}=\frac{p}{2p+1}+\frac{1}{4{(p+1)}^2-1}$ifall vi nu kan vissa att detta är samma sak som $\frac{\left(p+1\right)}{2\left(p+1\right)+1}$är vi färdiga.

$\frac{p}{2p+1}+\frac{1}{4{(p+1)}^2-1}=\frac{p}{2p+1}+\frac{1}{4(p^2+2p+1)-1}=\frac{p}{2p+1}+\frac{1}{4p^2+8p+3}$ ifall vi löser $p^2+2p+\frac{3}{4}=0\to x_1=-1,5 x_2=-0,5$ alltså kan vi faktorisera $4(p^2+2p+\frac{3}{4})=4(p+1,5)(p+0,5)=(2p+3)(2p+1)$ alltså $\frac{p}{2p+1}+\frac{1}{(2p+1)(2p+3)}=\frac{p(2p+3)+1}{(2p+1)(2p+3)}=\frac{2p^2+3p+1}{(2p+1)(2p+3)}$ ifall vi faktoriserar $2p^2+3p+1$ med samma metod som förra får vi $\frac{2p^2+3p+1}{(2p+1)(2p+3)}=\frac{(2p+1)(p+1)}{(2p+1)(2p+3)}=\frac{p+1}{2p+3}=\frac{(p+1)}{2(p+1)+1}$ och det var det vi ville vissa, alltså är vi färdiga.

Kallaskull skrev:

Välkommen till pluggakuten!

Tack!

 alltså kan vi faktorisera $4(p^2+2p+\frac{3}{4})=4(p+1,5)(p+0,5)=(2p+3)(2p+1)$

Jag förstår inte hur du får: (2p + 3)(2p +1)

Skriv om 4 som 2 * 2, och multiplicera in en tvåa i vardera parentes. :)

Blir det inte då 2(2p +3)(2p +1)?

Nej, eftersom det gäller att $a·\left(b·c\right)=a·b·c$. 

Jag förstår fortfarande inte, vad gör man med den andra tvåan?

Den ena tvåan används för att skriva om (p + 1,5) till (2p + 3). Den andra tvåan används för att skriva om (p + 0,5) till (2p + 1). 

Smutstvätt skrev:

Den ena tvåan används för att skriva om (p + 1,5) till (2p + 3). Den andra tvåan används för att skriva om (p + 0,5) till (2p + 1). 

Tack!!

ifall vi faktoriserar $2p^2+3p+1$ med samma metod som förra får vi $\frac{2p^2+3p+1}{(2p+1)(2p+3)}=\frac{(2p+1)(p+1)}{(2p+1)(2p+3)}=\frac{p+1}{2p+3}=\frac{(p+1)}{2(p+1)+1}$

Hur blev det (2p +1)(p+1) i täljaren på det andra steget ? Jag faktoriserade uttrycket genom pq - formeln och fick nollställerna till -0.5 och -1, det ger väl (p+1)(p+0.5)?

$4(p^2+2+\frac{3}{4})=4(p+\frac{3}{2})(p+\frac{1}{2})=2(p+\frac{3}{2})\cdot2(p+\frac{1}{2})=(2p+3)(2p+1)$.

Var kommer tvåan ifrån som man multiplicerar med (p + 3/2)?

Fyran skrivs om till 2 * 2. En tvåa till vardera parentes. :)

Smaragdalena skrev:

$4(p^2+2+\frac{3}{4})=4(p+\frac{3}{2})(p+\frac{1}{2})=2(p+\frac{3}{2})\cdot2(p+\frac{1}{2})=(2p+3)(2p+1)$.

Jag genomför detta steg, men jag får detta;

$\frac{p}{2p +1}+\frac{1}{4(p+0.5)(p +1.5) -1}=\frac{p}{2p +1}+\frac{1}{(2p +1)(2p +3) -1}$

Hur får jag bort -1 i nämnaren?

Jag förstår inte hur man ska göra det. Jag hade tänkt muliplicera 1/(2p +1)(2p +3)-1 med -1 så att ettan blir positiv, men det funkade inte

Är du med på att vi vill visa att $\frac{p}{2p+1}+\frac{1}{4(p+1)^2-1}=\frac{p+1}{2(p+1)+1}$, och att vi  i  så fall är klara?

Ja, jag är bara inte med på hur 4(p +1)^2 - 1 blir (2p +1)(2p +2)

Ted-from-TEDtalks skrev:

Ja, jag är bara inte med på hur 4(p +1)^2 - 1 blir (2p +1)(2p +2)

$$\begin{gathered} \left(1\right) 4{\left(p+1\right)}^2-1=4p^2+8p+4-1 \\ \left(2\right) 4p^2+8p+4-1=4p^2+8p+3 \\ \left(3\right) 4p^2+8p+3=4\left(p^2+2p+\frac{3}{4}\right) \\ \left(4\right) 4\left(p^2+2p+\frac{3}{4}\right)=4\left(p+\frac{3}{2}\right)\left(p+\frac{1}{2}\right) \\ \left(5\right) 4\left(p+\frac{3}{2}\right)\left(p+\frac{1}{2}\right)=\left(2p+3\right)\left(2p+1\right) \end{gathered}$$

har delat upp i fem rader skriv vilken av raderna du inte fattar så löse vi de

jag förstod allt det där. Jag fortsatte med beräkningen och får följande:

$\frac{p}{2p +1} +\frac{1}{(2p+1)(2p+3)}=\frac{p(2p+3)+1}{(2p+1)(2p+3)}=\frac{2p^2+3p+1}{(2p +1)(2p+3)}=\frac{2(p^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})}{(2p+1)(2p+3)}$

Jag faktoriserar det i täljaren med pq-formeln och får detta:

$\frac{2(p+1)(p+0.5)}{(2p+1)(2p+3)}$

Kan jag göra såhär?

$\frac{2p+1(p+1)}{(2p+1)(2p+3)}$

Alltså att jag enbart multiplicerar in tvåan i en av parenteserna?

Ted-from-TEDtalks skrev:..

Kan jag göra såhär?

$\frac{2p+1(p+1)}{(2p+1)(2p+3)}$

Alltså att jag enbart multiplicerar in tvåan i en av parenteserna?

Inte riktigt, men nästan - förmodligen har du tänkt rätt och bara skrivit fel. Täljaren skall vara (2p+1)(p+1), och då kan du förkorta bort (2p+1). Sedan behöver du bara skriva om nämnaren lite, så är du framme.

Smaragdalena skrev:

Inte riktigt, men nästan - förmodligen har du tänkt rätt och bara skrivit fel. Täljaren skall vara (2p+1)(p+1), och då kan du förkorta bort (2p+1). Sedan behöver du bara skriva om nämnaren lite, så är du framme.

Men man får enbart multiplicera tvåan med en parentes?

Du får multiplicera ihop vad du vill, men om du multiplicerar båda parenteserna med 2 så har du ju multiplicerat uttrycket med 4.

Tack för eran hjälp, jag lyckades genomföra beviset!! 

Tack för att ni kom på mitt TED talk

//Ted-from-TEDtalks