Induktionsbevis aritmetisk summa

Är du med på själva iden med vad ett induktionsbevis gör? Varför det fungerar?

Jag vet inte. 

"Läser innantill"

.. Jag tror att man observerar ett mönster och sedan kontrollerar om mönstret kommer hålla oavsett vilket tal i en följd? Att efterföljande tal alltid kommer vara på ett visst sätt.. 

När man gör ett bevis är målet att visa att om något påstående stämmer för ett visst $n$, så stämmer påståendet även för talet därefter.

Om man även vet att påståendet stämmer för något tal, vilket vi kallar för basfallet, exempelvis $n=1$. kommer vi automatiskt veta att det stämmer för $n=2$, som medför att det stämmer för $n=3$, osv. 

Den klassiska intuitionen som många kör på är med dominobrickor. Vi associerar att en dominobricka faller med att påståendet stämmer för något heltal $n$. Om varje bricka faller är det samma sak som att påståendet stämmer för alla $n$. 

Om brickorna står nära nog har vi att om en viss bricka faller, så faller även brickan efter (Jämför med påstående $n$ stämmer medför att påståendet efter också stämmer)

Sedan, om den första brickan faller kommer då regeln ovan medföra att varje bricka faller (att påståendet stämmer för något basfall)

Det här med att observera ett mönster är inte riktigt en del av ett induktionsbevis, men det är ett bra sätt för att komma på en formel, som är ett påstående, som man kan bevisa att det stämmer med hjälp av induktion.

Tillägg: 23 nov 2025 17:24

En bok jag hade uttryckte induktionskonceptet på ett intressant sätt som jag gillade:

"Säg att vi har en mängd $S$ med egenskaperna 

$1$ tillhör $S$
Om $n$ tillhör $S$ har vi att $n+1$ också tillhör $S$

Då innehåller $S$ varje positivt heltal"

Om vi tänker oss att $S$ representerar mängden av alla tal där ett visst påstående är sant blir detta exakt som induktionsprincipen. 

Okej. Ja, men det är jag med på ändå.

Dkcre skrev:

Okej. Ja, men det är jag med på ändå.

Bra! Ofta brukar induktion delas upp i tre steg:

$1$: Visa att påståendet stämmer för basfallet (induktionsbas)
$2$: Antag att påståendet stämmer för något tal, ofta brukar man använda $p$ (induktionsantagande)
$3$: Visa att om påståendet stämmer för $p$ så stämmer det även för $p+1$ (induktionssteg)

I din bild har du gjort steg $1$ och $2$ bra. (Man kanske vill ha lite text som förklarar några delar av det).

För steg $3$ är den viktiga iden i alla induktionsbevis att vi vill utnyttja det tidigare fallet, som vi har antagit stämmer. I frågan är fall $p+1$ påståendet

$2 + 4 + \dots + 2p + (2p+2) = (p+1)(p+2)$ 
(Notera att vi inte vet att detta stämmer! Detta är vad vi ska bevisa)

Till hjälp har vi steg $2$, antagelsen att 
$2 + 4 + \dots + 2p = p(p+1),$
vilket vi då har antagit stämmer. 

Hur kan vi använda fallet $p$, likheten som vi vet stämmer, för att visa att det även stämmer i fall $p+1$?

Jag gjorde såhär nu.

Det ser rätt ut! Snyggt!

Mitt perspektiv på induktionssteget med summor brukar ofta vara såhär:

$\underbrace{2+4+\dots + 2p }_{=p(p+1) \text{, fall } p}+ \left(2p+2\right) = p\left(p+1\right) + 2p + 2 = p^2 + 3p + 2 = \left(p+1\right)\left(p+2\right)$. 

Hur man vill tänka här är preferens dock. 

Jo, man hade kunnat multiplicera in 2 direkt så hade det blivit lite smidigare. Så länge jag förstår får det duga så länge, tack för hjälpen! 🙂

Supersvårt men lite roligt också. Bevisar man inte saker med ett objekt som kallas "ring" sedan? Det verkar kul.

Induktionsbevisa är roliga, det kändes lite som fusk första gången jag såg det. En process med tre steg för att bevisa något påstående för varje tal! 

Jag kan tyvärr nästan inget om ringar, så det kan jag inte svara på.