Induktionsbevis av rekursiv talföljd

Jag har ${(a_{n})}_{n = 0}^{\infty}$

$a_{0} = 2$

$a_{1} = - 1$

$a_{n} = 5 a_{n - 1} + 14 a_{n - 2}$

Jag ska bevisa att $a_{n} = \frac{1}{3} (7^{n} + 5 \cdot (- 2) n)$ för alla $n \geq 0$

Så första steget är ju att testa base case och det har jag gjort och fått att det stämmer. Problemet är sen när jag stoppar in den andra ekvationen i den första då jag har satt n+1 och ska förkorta och beräkna. Jag kommer så långt som på bilden men sen kör jag fast. Hur ska man gå vidare härifrån?

Induktionssteget blir

$a_{n + 1} = \frac{5}{3} (7^{n} + 5 \cdot (- 2)^{n}) + \frac{14}{3} (7^{n - 1} + 5 \cdot (- 2)^{n - 1}) = \frac{1}{3} (5 \cdot 7^{n} + 14 \cdot 7^{n - 1} + 25 \cdot (- 2)^{n} + 70 \cdot (- 2)^{n - 1}) = \frac{1}{3} (5 \cdot 7^{n} + 2 \cdot 7^{n} + 25 \cdot (- 2)^{n} - 35 \cdot (- 2)^{n}) = \frac{1}{3} (7 \cdot 7^{n} - 10 \cdot (- 2)^{n}) = \frac{1}{3} (7^{n + 1} + 5 \cdot (- 2)^{n + 1})$

Svara Avbryt