Induktionsbevis- ett fel i metod?

Wiki skrev:

Min uppgift: En talföljd definieras rekursivt på följande sätt 

$\left\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n+n+2\\ a_1=3\end{array}\right.$

Bevisa att formeln nedanför ger samma talföljd

$\left\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=\frac{(n+2)(n+3)}{2}\\ n\ge 0\end{array}\right.$

Jag tänkte använda mig an induktionsbevis och får nästan lika dana uttryck i VL och HL i sista steget förutom en term. Jag skulle vara tacksam om någon förklarade vad jag gjort fel.

Min uträkning:

Induktionsbas, n=1

$$\begin{gathered} V{L}_1=a_{1+1}=a_1+1+2 \\ V{L}_1=a_2=3+1+2=6 \\ H{L}_1=a_{1+1}=\frac{(1+2)(1+3)}{2} \\ H{L}_1=a_2=\frac{3*4}{2}=\frac{12}{2}=6 \end{gathered}$$

Induktionsantagande

$$\begin{gathered} V{L}_p=H{L}_p \\ 3+...+a_p+p+2=\frac{(p+2)(p+3)}{2} \end{gathered}$$

Induktionssteg

$$\begin{gathered} V{L}_{p+1}=3+...+a_p+p+2+a_{p+1}+p+1+2= \\ \frac{(p+2)(p+3)}{2}+a_{p+1}+p+1+2= \\ \frac{(p+2)(p+3)}{2}+a_{p+1}+p+3= \\ \frac{p^2+3p+2p+6}{2}+a_{p+1}+p+3= \\ \frac{p^2+3p+2p+6}{2}+\frac{2(a_{p+1}+p+3)}{2}= \\ \frac{p^2+3p+2p+6+2a_{p+1}+2p+6}{2}= \\ \frac{p^2+7p+2a_{p+1}+12}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} H{L}_{p+1}=\frac{\left(\right(p+1)+2)\left(\right(p+1)+3)}{2}= \\ \frac{(p+3)(p+4)}{2}=\frac{p^2+4p+3p+12}{2}= \\ \frac{p^2+7p+12}{2} \end{gathered}$$

Oj, det var inget. Det räcker med att jag sätter n =0 istället för 1 :)