Induktionsbevis för alla heltal n >= 1

Hej! Har försökt med en uppgift men det visade sig att jag fick fel.

Uppgiften är: Visa med induktion att för all heltal $n \geq 1$ , gäller följande likhet:

$\sum_{k = 1}^{n} 2^{k} = 2^{n + 1} - 2$

Jag gjorde basfallet och det stämde.

Sedan gjorde jag induktionsantagandet att n = p

Till sist gjorde jag induktionssteget, att n=p+1, som blev såhär:

vart blir det fel?

$2^p \neq 2^{p+1}-2$ , därav att du fick fel. Du arbetar också "på fel håll" när det gäller induktionsbevis.

n=1

$\mathrm{VL}_1=\sum_{k=1}^12^k=2^1=2$

$\mathrm{HL}_1=2^{1+1}-2=2^2-2=4-2=2$

$\mathrm{VL}_1=\mathrm{HL}_1$ !

Antag att $\mathrm{HL}_p = \mathrm{VL}_p$ .

För $n=p+1$ har vi att

$\mathrm{VL}_{p+1}=\sum_{k=1}^{p+1}2^k=\sum_{k=1}^{p}2^k+2^{p+1}=(*)=2^{p+1}-2+2^{p+1}=2\cdot2^{p+1}-2=2^{p+2}-2=\mathrm{HL}_{p+1}$ .

(*) = Induktionsantagandet.

Okej så man börjar med $V L$ då helt enkelt annars så arbetar man åt fel håll.

Men i ditt induktionssteg, efter induktionsantagandet så byter du ju ut $2^{k}$ mot $2^{p + 1} - 2$

vilket väl borde betyda att $2^{p} = 2^{p + 1} - 2$ i och med att vi anatgit att $H L_{p} = V L_{p}$ ?

Tack så mycket för svar.

Jag byter ut $\sum_{k=1}^p2^k$ mot $2^{p+1}-2$ då det är induktionsantagandet (att vi antar likhenten gäller för $n=p$ )

Svara Avbryt