Induktionsbevis olikhet

Hej!

Jag undrar om min lösning stämmer? Uppgiften lyder: 

Jag har gjort steg 1 och i steg två antog jag att olikheten gällde för n= p. Då blev det alltså: 

$\sum _{a=1}^p\left(\frac{1}{a^2}\right) \le 2- \frac{1}{p}$

I steg 3 ska jag visa att det gäller för n= p+1. Jag tänkte att summan för detta blir summan fram till n=p adderat med talföljdens element då n= p+1. Alltså: 

$\sum _{a=1}^{p+1}\left(\frac{1}{a^2}\right) = \sum _{a=1}^p\left(\frac{1}{a^2}\right) + \frac{1}{{(p+1)}^2}$ →  

För att byta ut för summan i HL tänkte jag att det största värdet som summan kunde anta är $2- \frac{1}{p}$. Då blev det: 

$2- \frac{1}{p} + \frac{1}{{(p+1)}^2} \le 2 - \frac{1}{(p+1)}$

VL ska vara summan då n = p+1.  Härifrån förenklade jag en del  och skrev om olikheten och fick slutligen detta: 

$\frac{-p^2-p-1}{p(p^2+2p+1)} \le \frac{p^2+p}{p(p^2+2p+1)}$

Eftersom n ska vara ett positvt heltal så verkar det ju som att HL är större än VL och då gäller ju olikheten. Verkar min lösning stämma?

Tack på förhand!