32 svar
126 visningar
Heocon är nöjd med hjälpen
Heocon 33
Postad: 17 feb 19:00

Induktionsbevis: summa

Hej, 

Jag ska visa att summan 4^n+5^n är delbart med 9 om n är ett udda tal. Jag fastnar i induktionssteget för jag ville sätta in 4^2x-1 som jag löste ut i antagandet men det blir inte bra. Har jag gjort fel? Hur ska man lösa denna?

Laguna Online 28997
Postad: 17 feb 19:34 Redigerad: 17 feb 19:41

4n+5är en summa, men du behöver inget summatecken för att representera det.

Som jag uppfattar uppgiften så ska du visa att 4n+1+5n+1 är delbart med 9 om 4k+5k är delbart med 9 för alla k från 1 till n.


Tillägg: 17 feb 2024 19:41

Fast det är ju inte sant, så det kan inte vara det vi ska bevisa.

Har du en bild på uppgiften?

 

Heocon 33
Postad: 18 feb 13:25

Men för att det ska vara ett udda positivt heltal måste man inte sätta in 2n-1 i n?

Laguna Online 28997
Postad: 18 feb 13:47

Aha, det stod ju udda, jag missade det.

Jo, eller helst en annan bokstav så man inte blandar ihop saker: n = 2k+1.

Heocon 33
Postad: 18 feb 15:24

Yes men då blir problemet i induktionssteget. I vanliga fall brukar jag kunna lösa ut en term i antagandet och sen sätta in det i induktionssteget. Men nu fastnar jag där, är jag på rätt väg? Eller ska jag göra på något annat sätt?

Laguna Online 28997
Postad: 18 feb 17:06

Hur ser ditt försök ut nu?

Heocon 33
Postad: 18 feb 17:13
Laguna skrev:

Hur ser ditt försök ut nu?

Det är som ovan, jag kommer inte vidare😭

Elias Sk 59
Postad: 18 feb 17:42 Redigerad: 18 feb 19:08

Jag gjorde ett försök med en annan metod. Osäker på om man ska/behöver använda summa-tecknet i denna uppgift då det handlar om individuella tal och inte en talföljd.

Så här gjorde jag, är inte 100 på om det är rätt, eller hur jag går vidare...
(borde stå längst upp "9 delar 4^n + 5^n för alla udda heltal n") 
Edit - det ska stå p+1 överrallt där det står p+2
 

Heocon 33
Postad: 18 feb 17:52
Elias Sk skrev:

Jag gjorde ett försök med en annan metod. Osäker på om man ska/behöver använda summa-tecknet i denna uppgift då det handlar om individuella tal och inte en talföljd.

Så här gjorde jag, är inte 100 på om det är rätt, eller hur jag går vidare...
(borde stå längst upp "9 delar 4^n + 5^n för alla udda heltal n")
 

I induktionssteget står det att vi visar för n=p+1 men i raden under har vi lagt in p+2, varför är det så?

Elias Sk 59
Postad: 18 feb 17:55
Heocon skrev:
Elias Sk skrev: ...

I induktionssteget står det att vi visar för n=p+1 men i raden under har vi lagt in p+2, varför är det så?

Oj det blev fel. Men jag tänker att det måste väll vara så då vi bara ska ha udda tal som exponent, då måste vi lägga till 2 för att det inte ska bli jämt, så egentligen ska det stå "... för n=p+2". Jag vet inte om man får göra så i ind.steget dock. Har du någon idé på utveckling av det där?

Heocon 33
Postad: 18 feb 18:03
Elias Sk skrev:
Heocon skrev:
Elias Sk skrev: ...

I induktionssteget står det att vi visar för n=p+1 men i raden under har vi lagt in p+2, varför är det så?

Oj det blev fel. Men jag tänker att det måste väll vara så då vi bara ska ha udda tal som exponent, då måste vi lägga till 2 för att det inte ska bli jämt, så egentligen ska det stå "... för n=p+2". Jag vet inte om man får göra så i ind.steget dock. Har du någon idé på utveckling av det där?

Det är där jag kör fast, för när jag tog fram formeln för udda positiva heltal så fick jag

Så då borde n kunna vara n=x+1 i induktionssteget, men kommer inte vidare härifrån🥹🥹

Elias Sk 59
Postad: 18 feb 18:05 Redigerad: 18 feb 18:06

Ahh jepp det är ju rätt, borde stå p+1 och inte p+2!

D4NIEL 2615
Postad: 18 feb 18:06 Redigerad: 18 feb 19:04

Det blir kanske enklare om man mellanlandar i kk, låt

n=2k-1n=2k-1

Då blir uttrycket 42k-1+52k-14^{2k-1}+5^{2k-1}

Och det ska vara delbart med 3\cancel{3} 9  för alla positiva heltal kk . Basfallet är redan bevisat

Antag nu på samma sätt ni brukar göra att k=pk=p är sant, dvs 42p-1+52p-14^{2p-1}+5^{2p-1} är delbart med 3. Vad gäller då för k=p+1k=p+1?

42(p+1)-1+52(p+1)-1=4^{2(p+1)-1}+5^{2(p+1)-1}=\dots

Ledtråd

Visa spoiler 42(p+1)-1=42p+1=16·42p-14^{2(p+1)-1}=4^{2p+1}=16\cdot 4^{2p-1}

Tillägg: 18 feb 2024 19:04

Ska vara delbart med 9, inte 3.

Heocon 33
Postad: 18 feb 18:11 Redigerad: 18 feb 18:12
D4NIEL skrev:

Det blir kanske enklare om man mellanlandar i kk, låt

n=2k-1n=2k-1

Då blir uttrycket 42k-1+52k-14^{2k-1}+5^{2k-1}

Och det ska vara delbart med 3 för alla positiva heltal kk . Basfallet är redan bevisat

Antag nu på samma sätt ni brukar göra att k=pk=p är sant, dvs 42p-1+52p-14^{2p-1}+5^{2p-1} är delbart med 3. Vad gäller då för k=p+1k=p+1?

42(p+1)-1+52(p+1)-1=4^{2(p+1)-1}+5^{2(p+1)-1}=\dots

Ledtråd

Visa spoiler 42(p+1)-1=42p+1=16·42p-14^{2(p+1)-1}=4^{2p+1}=16\cdot 4^{2p-1}

Hänger inte med på hur 4^2p+1 blir 16 × 4^2p-1 annars förstår jag hur jag ska lösa resten😅

D4NIEL 2615
Postad: 18 feb 18:13 Redigerad: 18 feb 18:13

Är du med på att 43=4·4·4=4·42=42·44^3=4\cdot 4 \cdot 4=4\cdot 4^2=4^2\cdot 4?

Man löser alltså bara ut två fyror.

Heocon 33
Postad: 18 feb 18:15
D4NIEL skrev:

Är du med på att 43=4·4·4=4·42=42·44^3=4\cdot 4 \cdot 4=4\cdot 4^2=4^2\cdot 4?

Man löser alltså bara ut två fyror.

Jag Är med på att 2 fyror går åt för 16, men hänger inte med hur den byter tecken och  varför hela 2p-1 är kvar

Elias Sk 59
Postad: 18 feb 18:17

Jag förstår inte riktigt hur man går vidare från 16×4p-1+25×5p-1, hur gör ni?

Du bryter ju ut en 4a i taget, så man kan se det som i denna ordning
4p+1=41×4p=42×4p-1

D4NIEL 2615
Postad: 18 feb 18:21 Redigerad: 18 feb 18:21

2(p+1)-1=2p+2-1=2p+12(p+1)-1=2p+2-1=2p+1

Om vi löser ut 2 fyror ska vi dra bort 2 i exponenten, alltså

2p+1-2=2p-12p+1-2=2p-1

När ni har uttrycket 16·42p-1+25·52p-116\cdot 4^{2p-1}+25\cdot 5^{2p-1} kan det vara bra att fundera på om ni kan samla ihop ursprungsuttrycket som antas vara sant på något vis.

Visa spoiler Vad händer t.ex.  om man samlar 16 stycken av varje och försöker bilda 16·42p-1+16·52p-116\cdot 4^{2p-1}+16\cdot 5^{2p-1}, för det vet ni ju är delbart med 3. Vad blir kvar då?

 

Elias Sk 59
Postad: 18 feb 18:25 Redigerad: 18 feb 18:31

Vi vill ju hitta tillbaka på nått sätt till 42p-1·52p-1, ser inte riktigt hur.
Förstår inte riktigt vad du menar med att samla ihop 16.. 

Heocon 33
Postad: 18 feb 18:27 Redigerad: 18 feb 18:35

När jag gör så så blir det rätt, men 4^-2 gör att det inte är lika med på båda sidor. Hur tänker man då?

Heocon 33
Postad: 18 feb 18:39

Är det såhär mellanstegen ser ut?

Elias Sk 59
Postad: 18 feb 18:44

Exakt, du måste ju ha "jämnvikt" i exponenterna hela tiden. Så om du tar bort 1 från en fyras exponent måste du lägga till 1 till en annan fyras exponent

Heocon 33
Postad: 18 feb 18:51
Elias Sk skrev:

Exakt, du måste ju ha "jämnvikt" i exponenterna hela tiden. Så om du tar bort 1 från en fyras exponent måste du lägga till 1 till en annan fyras exponent

Men här, på andra sidan om minustecknet så vill jag få en 9 term så att jag kan faktorerna ut det. Kan jag göra det på något vis? Isf hur?

D4NIEL 2615
Postad: 18 feb 18:53 Redigerad: 18 feb 19:05
Elias Sk skrev:Vi vill ju hitta tillbaka på nått sätt till 42p-1·52p-1, ser inte riktigt hur.

Förstår inte riktigt vad du menar med att samla ihop 16.. 

25·52p-1=16·52p-1+9·52p-125\cdot 5^{2p-1}=16\cdot 5^{2p-1}+9\cdot 5^{2p-1}

1642p-1+52p-116\left(4^{2p-1}+ 5^{2p-1}\right) är ju delbart med 3\cancel{3} 9 enligt induktionsantaganget... men hur är det med termen som blir kvar?

 

 


Tillägg: 18 feb 2024 19:03

Ändrade 3->9, Ska vara delbart med 9, inte med 3.

Elias Sk 59
Postad: 18 feb 18:59 Redigerad: 18 feb 19:01

25·52p-1=16·52p-1+9·52p-125\cdot 5^{2p-1}=16\cdot 5^{2p-1}+9\cdot 5^{2p-1}

1642p-1+52p-116\left(4^{2p-1}+ 5^{2p-1}\right) är ju delbart med 3 enligt induktionsantaganget... men hur är det med termen som blir kvar?

 

Ah okej 16·42p-1+16·52p-1+9·52p-1=16(42p-1+52p-1)+9·52p-1, och här är alla termer delbara med 9 givet vårt antagande

D4NIEL 2615
Postad: 18 feb 19:02

Jahaa, det skulle vara delbart med 9, ja. :) Det är samma sak. Fast sista termen är delbar med 9 för att den innehåller en faktor 9, det följer inte från induktionsantagandet...

Elias Sk 59
Postad: 18 feb 19:03 Redigerad: 18 feb 19:04

Haha ja exakt.

Tack så jättemycket för förklaringen Daniel, förtår nu! :D

Elias Sk 59
Postad: 18 feb 19:05 Redigerad: 18 feb 19:06

Men här, på andra sidan om minustecknet så vill jag få en 9 term så att jag kan faktorerna ut det. Kan jag göra det på något vis? Isf hur?


Testa att skriva om den utan att använda summatecknet, det är det som strular till det för dig.

Heocon 33
Postad: 18 feb 19:07
Elias Sk skrev:

Men här, på andra sidan om minustecknet så vill jag få en 9 term så att jag kan faktorerna ut det. Kan jag göra det på något vis? Isf hur?


Testa att skriva om den utan att använda summatecknet, det är det som strular till det för dig.

Från vilket steg behöver jag inte ha med summateckenet eller behöver jag inte ha med den alls?

D4NIEL 2615
Postad: 18 feb 19:07 Redigerad: 18 feb 19:16

Jag tolkar uppgiften som att "summan" avser exakt två termer. Du ska alltså inte summera från 1 till nn. De två talen, 4n+5n4^{n}+5^{n}, som ska adderas kallas termer och de bildar tillsammans en summa.

Du ska sedan visa att påståendet gäller för alla udda nn

(Inte för att det spelar någon egentlig roll, eftersom varje delsumma blir delbar med 9 och alltså är den större totalumma jag tror du tänkte beräkna också delbar med 9)

Heocon 33
Postad: 18 feb 19:15
D4NIEL skrev:

Jag tolkar uppgiften som att "summan" avser exakt två termer. Du ska alltså inte summera från 1 till nn. De två talen, 4n+5n4^{n}+5^{n}, som ska adderas kallas termer och de bildar tillsammans en summa.

Du ska sedan visa att påståendet gäller för alla udda nn

Aha de menar summan av 4^n plus 5^n och inte summan som en talföljd?

Men även om det är en sån summa. När jag har visat att n=p+1 har en 9 term då har jag visat att alla termer kommer att vara delbara med 9, vilket gör att summan är delbar med 9?

Elias Sk 59
Postad: 18 feb 19:22 Redigerad: 18 feb 19:26

Vad jag förstår det som så använder man summa-tecknet när man vill visa att ett uttryck som räknar ut summan av en sepcifik längd av en talföljd är sant. Ex k=1n(2k-1) = n2 som räknar ut summan av någon längd av talföljden .
I din uppgift används därför inte summa-tecknet, då det inte är en talföljd vi ska räkna summan på.

Förstår du hur jag menar?

Heocon 33
Postad: 18 feb 19:35
Elias Sk skrev:

Vad jag förstår det som så använder man summa-tecknet när man vill visa att ett uttryck som räknar ut summan av en sepcifik längd av en talföljd är sant. Ex k=1n(2k-1) = n2 som räknar ut summan av någon längd av talföljden .
I din uppgift används därför inte summa-tecknet, då det inte är en talföljd vi ska räkna summan på.

Förstår du hur jag menar?

Aha, okej. Tack så hemskt mycket för hjälpen🙏🏻 Ni är bäst

Svara Avbryt
Close