Inflektionspunkter och konkavitet

Faktum är att wikipedia-sidan för konkav funktion är väldigt enkel och begriplig, men kanske att krumeluriskan kommer ivägen. Om du har en konkav funktion så är funktionens ovanför den räta linjen mellan varje par av punkter på funktionen när man tittar på funktionens graf. I wikipedia-sidan har man punkterna (x,f(x)) och (y,f(y)) och den övre kurvan är funktionen f (även om jag tycker att just den delen av beskrivningen på wiki-sidan är lite osjälvklar) och den undre kurvan är linjen mellan de två punkterna. Om funktionen ligger över linjen mellan de två punkterna (inte utanför, uppenbarligen) så är funktionen konkav, om den ligger under linjen så är den konvex. Om du är given en konkav funktion på ett intervall så vet du att funktionen är större än den räta linjen mellan ändpunkterna på intervallet.

En inflektionspunkt är en punkt där funktionen går från att vara konkav till att vara konvex, eller omvänt.

Om du redan har en bra intuition för vad andraderivatan betyder, så är en funktion konkav där andraderivatan är negativ och konvex där den är positiv, och inflektionspunkten är när andraderivatan byter tecken.

För funktioner som inte är deriverbara, så du kan inte ange andraderivatan för funktionen, kan de fortfarande vara konkava och konvexa med den definition som har att göra med att funktionen ligger över eller under linjen mellan par av punkter på funktionen. Du kan alltså tänka på konkavitet som ett sätt att resonera om begrepp som motsvarar (och för deriverbara funktioner sammanfaller med) definitionen av att andraderivatan är negativ eller positiv; det är alltså ett mer generellt begrepp.

Känns det rimligt?

EDIT - Började skriva svar men blev avbruten, såg sedan inte att du redan fått svar när jag postade. Låter det här stå kvar ändå, kanske ger det någon ytterligare förståelse.

-----------

Förklaring av begreppen:

Om en funktion är konvex i ett område så gäller det att alla kordor till funktionens graf i detta område ligger på eller över grafen. Grafen "buktar uppåt", som en skål.

Exempel: Rita grafen till $f(x)=x^2$. Rita en korda mellan två punkter på grafen. Kordan ligger över grafen. Rita en ny korda. Även den ligger ovanför grafen. Alla kordor ligger ovanför grafen. Detta innebär att $f(x)$ är konvex överallt.

Om en funktion är konkav i ett område så gäller det att alla kordor till funktionens graf i detta område ligger på eller under grafen. Grafen "buktar nedåt", som en uppochnervänd skål.

Exempel: Rita grafen till $g(x)=-x^2$. Rita en korda mellan två punkter på grafen. Kordan ligger under grafen. Rita en ny korda. Även den ligger under grafen. Alla kordor ligger under grafen. Detta innebär att $g(x)$ är konkav överallt.

En inflektionspunkt är en punkt där en funktion växlar från att vara konkav till att vara konvex eller tvärtom.

Exempel: Rita grafen till $h(x)=x^3$. Alla kordor då $x\leq1$ ligger under grafen, så där är $h(x)$ konkav. Alla kordor då $x\geq0$ ligger ovanför grafen, så där är $h(x)$ konvex. Funktionen byter alltså från att vara konkav till att vara konvex i origo. Origo är en inflektionspunkt.

--------

Det är en hjälp att skissa grafer om du tänker att grafen i inflektionspunkten växlar från att vara "skålformad" till att vara "formad som en uppochnervänd skål" eller tvärtom.

Tack så mycket!!