10 svar
61 visningar
123matte321 6
Postad: 8 nov 2018

Inhomogen diff.ekvation av första ordningen

Hej!

Skulle behöva lite hjälp på traven men följande fråga:

Betrakta differentialekvationen

y' - 4xy = 4

a)  Vilken lutning har en lösningskurva till differentialekvationen i punkten (3,-6)?

Lutningen i punkten är derivatan i punkten, jag skriver in i ekvationen att x=3 och y=(-6). 

y'=4 + 4xyy' = 4 + 12-6y' = 4 + (-2) y'= 2

b)  Bestäm 𝑦(2) då y(0)= 4.

På följande delfråga har jag börjat såhär:

y'=4 +4xyy'=4x +4yy' - 4y = 4xyh= Ce14xyp= ?

När yp är uträknat, adderar jag yh + yp=y, därefter sätter jag in värdarna på både x och y  i ekvationen. Vad ska jag anta för yp? y=ax + b?

 

Tack på förhand!

Laguna 1299
Postad: 8 nov 2018

På b, när du delar högerledet med x så borde du dela vänsterledet med x också. Nu löser du en annan ekvation än den du hade.

123matte321 6
Postad: 8 nov 2018 Redigerad: 8 nov 2018

Okej, men då blir det y'x, vilket gör ekvationen svårare att lösa. Hur löser jag då uppgiften men två okända variabler?

Laguna 1299
Postad: 8 nov 2018

Det här var en jobbig sak. Har du skrivit av differentialekvationen korrekt?

123matte321 6
Postad: 8 nov 2018

Japp!

Moffen 313
Postad: 8 nov 2018

Tror du att dom vill ha en exakt algebraisk lösning eller kanske räcker det att du tar fram ett approximativt värde m.h.a exempelvis Eulers steg metod? Det verkar som att dom vill att du ska använda lite samma tankegång som i a) i b). En algebraisk lösning till den här differentialekvationen (icke-linjär dessutom) har jag inget minne av att man går igenom i matte 5.

emmynoether 569
Postad: 8 nov 2018 Redigerad: 8 nov 2018

Det borde vara något som är felskrivet här. Det där är en Chiniekvation och lösningen för just den där (jag slog in den på en symbolhanterare) är verkligen inte fin. Dessutom vill jag minnas att alla icke-linjära diffekvationer man stöter på i gymnasiet är separabla, vilket den här inte är.

 

Jag kan såklart ha fel här, men det känns som ett alldeles för tufft problem för en gymnasieelev om tanken inte är att du ska använda någon form av numeriska metoder.

Min gissning är att man skall försöka ta fram en lösning numeriskt.

Laguna 1299
Postad: 8 nov 2018

Finns det ett facit, så man kan se om det är en exakt lösning de vill ha eller bara ett närmevärde?

123matte321 6
Postad: 8 nov 2018

Har tyvärr inget facit till just denna lösningen. Tusen tack för all hjälp!

Laguna 1299
Postad: 8 nov 2018

De två saker jag provade (förutom att iterera numeriskt) var:

1) Genom inspektion gissade jag att y = ax kunde vara bra, och det ger också en lösning. Tyvärr med sådana a så att den inte går igenom (0, 4).

2) Jag ansatte y = x/z och fick en separabel ekvation i x och z. För att lösa den får man dela upp ett inverterat polynom i z i partialbråk med jobbiga koefficienter och sedan får man lnx på högersidan så att den inte omedelbart är definierad där, men den blir förhoppningsvis det när man substituerar tillbaka z. Och den är sedan ett slutet uttryck för x uttryckt i y, inte tvärtom, men det kanske går att lösa ut y. Den som vill kan försöka.

 

Numerisk iteration gav att y(2) blir ungefär 12,863 och jag fick inte fram att det var något trevligt algebraiskt tal.

Svara Avbryt
Close