Injektiv

Om f är inverterbar så är den även injektiv. Det omvända gäller inte nödvändigtvis, exempelvis så är $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definierad av

$f(x) = \arctan(x)$

en injektiv funktion, men den är inte surjektiv, alltså är den inte inverterbar.

Okej, men wolfram alpha säger "the inverse of arctan(x) is tan (x)"

hur förklarar man det?

Då betraktar man istället funktionen $f: \mathbb{R} \rightarrow (-\pi/2, \pi/2)$, där $f(x) = \arctan(x)$. Denna är både injektiv och surjektiv, skillnaden här är alltså målmängderna.

Ursäkta att jag lånar tråden, som jag förstod det du skrev så är en injektiv funktion alltid inverterbar (med vissa restriktioner)? Medan en bijektiv funktion alltid är inverterbar?

Ja, du kan begränsa målmängden till enbart värdemängden för en injektiv funktion och då få att den blir bijektiv (vilket alltså innebär att den är inverterbar), detta innebär dock att man har en annan funktion. Bijektiv och inverterbar är ekvivalenta egenskaper, bijektiva funktioner är alltid inverterbar, inverterbara funktioner är alltid bijektiv.