Injektiv

visa att $f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ är injektiv samt vad dess definitionsmängd och värdemängd är:

Började såhär:

$D_{f} = ℝ, V_{f} = (- 1, 1) f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} f (x_{1}) = f (x_{2}) \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + 1}} = \frac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + 1}} \Rightarrow x_{1} \sqrt{x_{2}^{2} + 1} = x_{2} \sqrt{x_{1}^{2} + 1} \Rightarrow \Rightarrow x_{1}^{2} (x_{2}^{2} + 1) = x_{1}^{2} (x_{1}^{2} + 1) \Rightarrow x_{1}^{2} x_{2}^{2} + x_{1}^{2} = x_{1}^{2} x_{2}^{2} + x_{1}^{2} \Rightarrow \Rightarrow x_{1}^{2} = x_{1}^{2}$

Vet inte hur jag visar att x₁ = x₂ , hur ska jag tänka?

Du har bara gjort ett litet fel i din omskrivning. I näst sista steget ska det stå x1^2*x2^2 + x1^2 = x1^2*x2^2 + x2^2, vilket förenklas till x1^2 = x2^2.

Och x₁²=x₂²==> x₁=x₂ eller x₁=-x₂. Den senare strider mot att f(x₁)=f(x₂) varav påst följer.

Juitre skrev:
Du har bara gjort ett litet fel i din omskrivning. I näst sista steget ska det stå x1^2*x2^2 + x1^2 = x1^2*x2^2 + x2^2, vilket förenklas till x1^2 = x2^2.

Ja tack! blev lite virrigt när jag skrev in det på mathtype!

Tomten skrev:
Och x₁²=x₂²==> x₁=x₂ eller x₁=-x₂. Den senare strider mot att f(x₁)=f(x₂) varav påst följer.

men om vi jämför med f(x) = x²

x₁²=x₂² => x₁=x₂ eller x₁=-x₂ . Denna kommer inte att vara injektiv, hur kan funktionen i mitt problem då vara injektiv? (Vi har inte börjat med surjektiva funktioner eller bijektiva funktioner än om det har något med saken att göra)

Titta på tredje raden nerifrån vid läget innan du multiplicerar upp nämnarna. Nämnarna är positiva för alla x. Alltså kommer f(x₁) och f(x₂) få olika tecken om x₁=-x₂ och skilda från 0.

Det är stor skillnad på vår fkn f och en andragradsfunktion som ju inte är injektiv.

Svara

Visa senaste svar