Injektiv, surjektiv, bijektiv funktion samt dess inverser och determinanter?

De menar att inversa funktionssatsen bara gäller lokalt, runt en punkt i taget.

Så även om $f$ har en lokal invers kring varje punkt i $D_f$ så är det inte säkert att det gäller globalt (dvs för alla punkter samtidigt).

Ett vanligt motexempel är polära koordinater, där vinklar kan ge samma värden för de trigonometriska funktionerna för värden som ligger $2\pi$ isär i definitionsmängden, dvs

$\cos(\alpha)=\cos(\alpha +2\pi)$

Då är $f$ inte injektiv och saknar global invers, trots att vi kan hitta en lokal invers runt varje punkt. 

Det här kan man hindra genom att införa restriktioner, t.ex. bestämma att vinklarna bara får variera mellan $0<\alpha<2\pi$.

Räknas det som en annan punkt om man tar exempelvis +2pi, de hamnar ju liksom på samma ställe... Eller?... Däremot om man har en sinuskurva så är det ju olika ställen på grafen. Venne, inte hört talas om global eller lokal invers. Venne riktigt om jag hänger med ngl.

Det är just det som är problemet, att de hamnar på samma ställe alltså.

Vi kan ju inte med total säkerhet veta vilken av punkterna till vänster som gav oss punkten till höger om det enda vi känner till är punkten till höger. Alltså kan vi inte hitta en invers funktion. Är du med?

Lösningen är att lägga till en restriktion, t.ex. $0<\theta < 2\pi$

D4NIEL skrev:

Det är just det som är problemet, att de hamnar på samma ställe alltså.

Vi kan ju inte med total säkerhet veta vilken av punkterna till vänster som gav oss punkten till höger om det enda vi känner till är punkten till höger. Alltså kan vi inte hitta en invers funktion. Är du med?

Ahh, det make:ar så mycket sense. Det finns bara invers om man har med en restriktion. Jag tänkte liksom "amen får man inte två inverser i sådana fall" men så funkar det inte, en funktion är en funktion och den skall inte kunna ge två värden (om en sådan sak finns så vet jag inte vad det är men man brukar typ använda y-testet eller y-linjen för att se att det är ett y-värde för varje x-värden och inte två). En invers funktion är fortfarande en funktion liksom.

Edit: med det sagt så finns bara en lokal invers ty vi använder restriktion för funktionen. Så... då borde det finnas oändligt många lokala inversa funktioner men inte EN global invers funktion som gäller för alla värden.

Just det, och därför säger man att inversa funktionssatsen har en lokal struktur. Vi kan bara garantera en lokal invers just runt en punkt (det finns inte med någon restriktion i satsens formulering). Vi kan därmed inte garantera att f är injektiv på hela definitionsmängden.

D4NIEL skrev:

Just det, och därför säger man att inversa funktionssatsen har en lokal struktur. Vi kan bara garantera en lokal invers just runt en punkt. Vi kan inte garantera att f är injektiv på hela definitionsmängden.

Chilla:

Bijektiv --> 1:1, ett x-värde motsvarar ett y-värde

surjektiv --> det finns minst två x-värde som ger samma y värde

injektiv --> alla x-värden har ett y-värde men alla y-värden har inte ett x-värde?

Är det typ rätt?

Edit: Kan vara fel men kom ihåg att man sa något om att man använde typ målmängd istället för värdemängd också. Inte riktigt fattat det heller.

Nja, en funktion är injektiv om olika indata alltid ger olika utdata.

Funktionen $f(x)=x^2$ är injektiv på intervallet $0\leq x\leq 1$ eftersom varje värde på x ger ett unikt värde på y.

Men funktionen är inte injektiv på $-1\leq x \leq 1$. Till exempel ger f(-1) samma värde som f(1). Olika indata ger i detta fall INTE olika utdata.

Sur är latin och betyder på. Surjektiv betyder på hela målmängden. Vi ska alltså kunna nå varje punkt i hela målmängden.

Bijektiv betyder att funktionen är både surjektiv och injektiv. Du måste alltså lära dig sur (PÅ målmängden) och injektiv, sedan är bijektiv bara bi (båda två) samtidigt.

Okej så kortfattat:

Bijektiv - surjektiv + injektiv = olika indata ger olika utdata samt att varje punkt i målmängden kommer nås (one to one).

Rättare sagt: varje unikt input ger ett unikt output

Surjektiv - varje punkt PÅ målmängden kommer nås

Injektiv - olika input ger olika output

Edit: Jättebra och tydlig förklaring förresten. Tack så mycket!

Ja, en detalj bara, 

Bijektiv är 1-1 och PÅ.

Injektiv är 1-1

D4NIEL skrev:

Ja, en detalj bara, 

Bijektiv är 1-1 och PÅ.

Injektiv är 1-1

Ännu bättre sammanfattning :D